微积分基本定理

教学项目

微积分基本定理

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

上次课学习了定积分的概念和性质，理解了分割-取点-作和-取极限的定义方式，掌握了定积分的基本性质（线性性、区间可加性、保号性、估值定理、积分中值定理等）。

学生已经掌握了不定积分的全部计算方法（直接积分、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法），能够熟练求解各类函数的原函数。但目前定积分的计算仍停留在定义层面——需要进行分割、取点、求和、取极限，这一过程极为繁琐，仅适用于少数简单函数。

学生自然会产生疑问：能否像不定积分那样，通过求原函数来计算定积分？本节课将回答这个核心问题——微积分基本定理正是连接微分与积分的桥梁，牛顿-莱布尼茨公式将定积分的计算彻底简化为求原函数并代入上下限。

根据教学计划，本课时为第17-18学时（累计18学时），下一课将学习定积分的换元积分法和分部积分法。

教学目标

知识目标：

（1）理解积分上限函数的概念—— $F(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$ ，明确它是以上限 x 为自变量的函数，其几何意义是变动上限下的面积；

（2）掌握微积分基本定理（第一部分）：若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 $F^{′} (x)= \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$ ；

（3）掌握牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理第二部分）： $\int_{a}^{b} f(x)dx =F(b)-F(a)$ ，能熟练运用该公式计算定积分；

（4）理解微积分基本定理的深刻含义——微分与积分互为逆运算，牛顿-莱布尼茨公式是连接微积分两大分支的桥梁。

能力目标：

（1）能运用牛顿-莱布尼茨公式高效计算各类定积分，取代繁琐的极限定义方法；

（2）能对积分上限函数求导，包括上限为复合函数的推广形式；

（3）能综合运用原函数求解技巧（换元、分部积分等）与牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。

素质目标：

（1）通过微积分基本定理，体会数学中“看似不相关的概念之间存在深刻联系”的思想之美；

（2）通过牛顿-莱布尼茨公式将复杂问题化简的过程，培养追求简洁优美解法的数学审美。

教学重点

1. 积分上限函数及其性质积分上限函数的概念是理解微积分基本定理的基础。学生必须理解：积分上限函数 F(x) 是以上限 x 为自变量的函数，积分变量 t 是哑变量（dummy variable），它与自变量 x 不同。几何上，F(x) 表示曲线 y=f(t) 在 [a,x] 上与 t 轴所围的面积。

2. 微积分基本定理定理的核心结论 F'(x)=f(x) 表明：对积分上限函数求导，恢复被积函数。这揭示了积分与微分的逆运算关系，是微积分最深刻的结论之一。推广形式涉及链式法则，是考试常见考点。

3. 牛顿-莱布尼茨公式这是本节课最重要的计算工具。学生必须熟练掌握：找到原函数 F(x) 后，定积分等于 F(b)-F(a)。该公式将定积分的计算从极限过程彻底简化为代数运算。

教学难点

及应对

难点：

1. 积分上限函数中积分变量 t 与自变量 x 的区分——学生容易混淆积分变量（哑变量）和上限变量（自变量），需要反复强调两者的不同角色。

2. 变上限积分求导的推广形式——当上限为复合函数时， $\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t)dt =f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)$ ，需要结合链式法则，学生容易忘记乘以 g'(x)。

3. 微积分基本定理的证明思路——虽然证明本身不是教学重点，但理解定理的成立原因有助于加深理解。学生可能对利用积分中值定理的证明过程感到抽象。

应对策略：

1. 通过动态面积的几何直观帮助学生理解积分上限函数——当 x 增大一点点时，面积增加一个“窄矩形” f(x)dx，因此 dF=f(x)dx，即 F'(x)=f(x)；

2. 推广形式通过多道例题反复练习，形成条件反射式的操作熟练度；

3. 牛顿-莱布尼茨公式从微积分基本定理自然导出，逻辑链条清晰，降低理解难度。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：积分上限函数几何意义图、微积分基本定理示意图、牛顿-莱布尼茨公式图解、微积分两大分支联系图、公式应用步骤流程图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解积分上限函数、微积分基本定理和牛顿-莱布尼茨公式

几何直观法：通过面积变化的几何意义帮助学生理解 F'(x)=f(x)

对比法：将定积分的定义计算法与牛顿-莱布尼茨公式对照，体现公式的强大简化作用

练习法：讲练结合，通过多种类型的定积分计算练习巩固公式应用

教学反思

本节课系统讲授了微积分基本定理，从积分上限函数的概念出发，建立了微积分第一基本定理（积分上限函数的求导公式），进而推导出牛顿-莱布尼茨公式。通过“概念引入→定理证明→公式应用→综合练习”的递进设计，学生对微积分基本定理的理解逐步深入。课堂练习反馈表明，牛顿-莱布尼茨公式的基本应用掌握较好，但积分上限函数的变限求导（特别是推广形式）仍需加强练习。下节课将学习定积分的换元积分法和分部积分法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，上节课我们学习了定积分的概念和性质。回顾一下定积分的定义：

回顾：定积分的定义

设 f(x) 在 [a,b] 上有界，将 [a,b] 分割为 n 个小区间，在每个小区间上取一点，作积分和，取极限：

$\int_{a}^{b} f(x)dx = {lim}_{n\to∞} \sum_{i=1}^{n} f(ξ_{i}) Δ x_{i}$

【教师】这个定义虽然严格，但计算起来非常繁琐——每次都要分割、取点、求和、取极限。上节课我们用这种方法计算了几个简单的定积分，过程已经很复杂了。

引出问题：有没有一种更简便的方法来计算定积分？

【教师】回想不定积分——我们通过求原函数来求不定积分。那么，定积分能否也与原函数联系起来呢？这就是今天要学习的核心内容——微积分基本定理。这个定理揭示了微分与积分之间最深刻的联系，被称为微积分学中最重要的定理。

二、积分上限函数（10分钟）

定义（积分上限函数）：

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，对任意 $x ∈ [a,b]$ ，定义

$F(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$

理解要点：

（1）积分变量是 t（哑变量），积分结果是关于上限 x 的函数；

（2）下限 a 是固定常数，上限 x 是自变量；

（3）几何意义：F(x) 表示曲线 y=f(t) 在区间 [a,x] 上与 t 轴围成的“有向面积”，当 x 增大时面积增大。

直观理解 F'(x)=f(x)：

当上限 x 增加一个微小量 dx 时，面积增加了一个“窄矩形”，其宽为 dx，高约为 f(x)，因此 dF=f(x)dx，即 F'(x)=f(x)。

三、微积分基本定理（第一部分）（10分钟）

定理（微积分基本定理——第一部分）：

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则积分上限函数 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$ 在 [a,b] 上可导，且

$F^{′} (x)= \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$

证明思路（简要）：

考虑增量 $Δ F=F(x+ Δ x)-F(x)= \int_{a}^{x+Δx} f(t)dt- \int_{a}^{x} f(t)dt = \int_{x}^{x+Δx} f(t)dt$

由积分中值定理，存在 $ξ ∈ [x,x+ Δ x]$ ，使得

$\int_{x}^{x+Δx} f(t)dt =f(ξ) ⋅ Δ x$

因此 $\frac{Δ F}{Δ x} =f(ξ)$ 。当 $Δ x \to 0$ 时， $ξ \to x$ ，由 f 的连续性得 $F^{′} (x)= {lim}_{Δx\to0} f(ξ)=f(x)$ 。

重要推论：

连续函数一定存在原函数！因为积分上限函数 F(x) 就是 f(x) 的一个原函数。

推广形式（链式法则）：

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t)dt =f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)$

四、牛顿-莱布尼茨公式（10分钟）

定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，G(x) 是 f(x) 的任意一个原函数，则

$\int_{a}^{b} f(x)dx =G(b)-G(a)$

推导：

由微积分基本定理， $F(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$ 是 f(x) 的一个原函数。

设 G(x) 是 f(x) 的任意一个原函数，则 G(x)=F(x)+C（C为常数）。

令 x=a：G(a)=F(a)+C=0+C=C，即 C=G(a)。

令 x=b：G(b)=F(b)+C=F(b)+G(a)。

因此 $F(b)=G(b)-G(a)$ ，即 $\int_{a}^{b} f(x)dx =G(b)-G(a)$ 。

常用记号： ${G(b)-G(a)=G(x)|}_{a}^{b}$

公式的伟大意义：

牛顿-莱布尼茨公式把定积分的计算从繁琐的极限过程（分割-求和-取极限）彻底简化为：找原函数 + 代入上下限。这是微积分学中最伟大的成就之一！

复习导入环节回顾定积分的定义及其计算的繁琐性，让学生深刻感受到需要一种更简便的计算方法，为引入微积分基本定理建立学习动机。

积分上限函数部分通过几何直观（变动上限的面积函数）帮助学生理解这一新概念。特别强调积分变量 t 是哑变量，与自变量 x 的区别，这是学生常见的困惑点。

微积分基本定理第一部分给出了形式化的定理陈述和简要证明。通过“窄矩形”的直观解释帮助学生理解 F'(x)=f(x) 的含义。推广形式为后续习题做准备。

牛顿-莱布尼茨公式从微积分基本定理自然推导得出，逻辑链条清晰。强调公式的伟大意义——将定积分计算彻底简化，激发学生对数学之美的感悟。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面我们来用牛顿-莱布尼茨公式计算几个定积分，体验公式的威力。

例1 求 $\int_{0}^{1} x^{2} dx$ 。

解 $x^{2}$ 的一个原函数为 $\frac{x^{3}}{3}$ ，由牛顿-莱布尼茨公式：

$\int_{0}^{1} x^{2} dx = \frac{x^{3}}{3} {|_{0}}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}$

对比：如果用定义计算，需要对 n 个小矩形求和再取极限，过程非常复杂！

例2 求 $\int_{0}^{π} sin xdx$ 。

解 sinx 的一个原函数为 -cosx：

$\int_{0}^{π} sin xdx =- cos {x|}_{0}^{π} =- cos π -(- cos 0)=-(-1)-(-1)=2$

例3 求 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ 。

解 1/x 的一个原函数为 lnx：

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = ln {x|}_{1}^{e} = ln e- ln 1=1-0=1$

例4 求 $\int_{0}^{1} e^{x} dx$ 。

解

$\int_{0}^{1} e^{x} dx {=e}^{x} {|_{0}}^{1} {=e}^{1} {-e}^{0} =e-1$

【教师】讲评要点：牛顿-莱布尼茨公式的使用步骤非常简单——先求原函数，再代入上下限做差。注意：原函数中不需要加常数 C，因为 G(b)-G(a) 中常数 C 恰好抵消。

四道例题由简到繁，分别涉及幂函数、三角函数、对数函数和指数函数的定积分。通过这些经典例题，让学生亲身体验牛顿-莱布尼茨公式的简洁与高效。

例1特别与定义法做对比，突出公式的巨大优势，增强学生的学习动力。

第二节课

知识讲解

（30 min）

五、积分上限函数求导——进阶应用（10分钟）

复习基本公式：

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$

推广形式1：上限为复合函数

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t)dt =f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)$

推广形式2：上下限都是函数

$\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt =f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)-f(h(x)) ⋅ h^{′} (x)$

例5 求 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} e^{{-t}^{2}} dt$ 。

解这里上限为 g(x)=x²，f(t)=e^(-t²)。由推广公式：

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} e^{{-t}^{2}} dt {=e}^{{-(x}^{2})^{2}} ⋅ {(x}^{2})^{′} {=2xe}^{{-x}^{4}}$

例6 求 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{sinx} \sqrt{{1+t}^{2}} dt$ 。

解上限为 g(x)=sinx，f(t)= $\sqrt{{1+t}^{2}}$ ：

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{sinx} \sqrt{{1+t}^{2}} dt = \sqrt{1+ {sin}^{2} x} ⋅ cos x$

例7 求 $\frac{d}{dx} \int_{x}^{x^{2}} cos {(t}^{2})dt$ 。

解上下限都是 x 的函数，g(x)=x²，h(x)=x：

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{x^{2}} cos {(t}^{2})dt = cos {(x}^{4}) ⋅ 2x- cos {(x}^{2}) ⋅ 1$

$=2x cos {(x}^{4})- cos {(x}^{2})$

六、牛顿-莱布尼茨公式综合应用（10分钟）

例8 求 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} xdx$ 。

解利用半角公式 ${cos}^{2} x= \frac{1+ cos 2x}{2}$ ：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} xdx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1+ cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} (x+ \frac{sin 2x}{2} {)|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$= \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{sin π}{2})- \frac{1}{2} (0+ \frac{sin 0}{2})= \frac{π}{4}$

例9 求 $\int_{1}^{4} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx$ 。（提示：令 $t= \sqrt{x}$ ）

解令 $t= \sqrt{x}$ ，则 x=t²，dx=2tdt。当 x=1 时 t=1；当 x=4 时 t=2。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{1+ \sqrt{x}} dx = \int_{1}^{2} \frac{2t}{1+t} dt = \int_{1}^{2} 2(1- \frac{1}{1+t})dt$

$=2(t- ln {(1+t))|}_{1}^{2} =2[(2- ln 3)-(1- ln 2)]=2(1- ln 3+ ln 2)$

$=2(1+ ln \frac{2}{3})=2-2 ln \frac{3}{2}$

七、微积分基本定理的深刻意义（10分钟）

1. 微分与积分互为逆运算：

（1）先积后微： $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$ —— 积分后再微分，恢复原函数；

（2）先微后积： $\int_{a}^{x} F^{′} (t)dt =F(x)-F(a)$ —— 微分后再积分，恢复原函数（差一个常数）。

2. 两大分支的统一：

微分学研究“变化率”（局部性质），积分学研究“累积量”（全局性质）。微积分基本定理证明：这两种看似不同的研究方向，本质上是同一事物的两个侧面。

3. 历史意义：

牛顿和莱布尼茨各自独立发现了微积分基本定理，这一发现标志着微积分学的正式诞生，被誉为数学史上最伟大的成就之一。在此之前，面积、切线、速度等问题是分散研究的；这个定理将它们统一在一个优美的理论框架中。

积分上限函数求导的进阶部分通过三道例题覆盖了推广形式的常见题型：上限为 x²（例5）、上限为 sinx（例6）、上下限都是函数（例7）。这些是考试中的常见考点，需要重点训练。

牛顿-莱布尼茨公式的综合应用部分选取了两道有一定技巧性的题目：例8涉及三角恒等变换，例9涉及换元法。这些例题帮助学生体会公式与其他计算技巧的综合运用。

微积分基本定理的深刻意义部分从数学思想和历史角度阐述定理的重要性，帮助学生理解这不仅是一个计算工具，更是数学思想的巅峰之作。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固本节课所学内容。

练习1：求 $\int_{-1}^{1} {(3x}^{2} +2x)dx$ 。

解

$\int_{-1}^{1} {(3x}^{2} +2x)dx {=(x}^{3} {+x}^{2} {)|}_{-1}^{1} =(1+1)-((-1)+1)=2-0=2$

练习2：求 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} xdx$ 。

解 sec²x 的原函数为 tanx：

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {sec}^{2} xdx = tan {x|}_{0}^{\frac{π}{4}} = tan \frac{π}{4} - tan 0=1-0=1$

练习3：求 $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{3}} sin {(t}^{2})dt$ 。

解上限 g(x)=x³，f(t)=sin(t²)：

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{3}} sin {(t}^{2})dt = sin {((x}^{3})^{2}) ⋅ {3x}^{2} {=3x}^{2} sin {(x}^{6})$

练习4：求 $\int_{0}^{1} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx$ 。

解 $\frac{1}{{1+x}^{2}}$ 的原函数为 arctanx：

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{1+x}^{2}} dx = arctan {x|}_{0}^{1} = arctan 1- arctan 0= \frac{π}{4} -0= \frac{π}{4}$

【教师】讲评要点：练习1和练习2是牛顿-莱布尼茨公式的直接应用；练习3是积分上限函数求导的推广形式，注意乘以上限函数的导数；练习4的结果是一个含有 pi 的精确值，体现了定积分计算的优美。

四道练习覆盖了本节课的核心内容：牛顿-莱布尼茨公式的直接应用（练习1、2），积分上限函数的变限求导推广形式（练习3），以及反三角函数的定积分（练习4）。

练习设计由基础到综合，帮助学生全面巩固微积分基本定理的各个方面。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

一、积分上限函数：

$F(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$ —— 以上限 x 为自变量，几何意义为变动上限下的面积。

二、微积分基本定理（第一部分）：

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则

$F^{′} (x)= \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt =f(x)$

含义：对面积函数求导，恢复被积函数。积分与微分互为逆运算。

三、牛顿-莱布尼茨公式：

$\int_{a}^{b} f(x)dx {=F(b)-F(a)=F(x)|}_{a}^{b}$

意义：把定积分计算转化为求原函数并代入上下限。

四、推广形式：

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t)dt =f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)$

作业布置：

计算以下定积分或求导：

① $\int_{0}^{2} {(x}^{3} -x+1)dx$ ② $\int_{0}^{π} (1+ cos x)dx$

③ $\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} dx$ ④ $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}+1} \frac{1}{{1+t}^{2}} dt$

⑤ $\int_{0}^{1} \frac{x}{{1+x}^{2}} dx$ ⑥ $\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos xdx$

预习提示：

下节课将学习定积分的换元积分法和分部积分法。核心问题是：在定积分中进行变量替换时，积分上下限如何同步变换？请同学们预习教材相关内容，思考“换元必换限”的原则。

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：积分上限函数、微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式及推广形式，帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖了牛顿-莱布尼茨公式的直接应用（①②③⑥）、积分上限函数的变限求导（④）、以及需要简单技巧的定积分（⑤）。难度适中。

预习任务指向下节课的定积分换元积分法，通过“换元必换限”的核心原则激发学生思考，帮助学生带着问题进入新课的学习。

教学反思

本节课系统讲授了微积分基本定理，从积分上限函数出发，逐步建立微积分第一基本定理，并推导出牛顿-莱布尼茨公式。以下是具体分析：

（1）积分上限函数：通过变动上限面积的几何直观引入积分上限函数的概念，学生接受度较高（约85%能正确理解概念）。但部分学生仍混淆积分变量 t 与自变量 x 的角色，需要在后续练习中继续强调。

（2）微积分基本定理第一部分：F'(x)=f(x) 的直观解释（“窄矩形”论证）效果良好，约80%的学生能理解定理的含义。简要证明过程对学生的理解有所帮助，但部分学生对积分中值定理的运用仍感到抽象。

（3）牛顿-莱布尼茨公式：这是本节课最受学生欢迎的内容。当学生发现可以通过“求原函数+代入上下限”取代繁琐的极限计算时，课堂反响非常积极。基本应用的正确率约90%，体现了公式的直观性和易用性。

（4）变上限求导的推广形式：这是本节课的难点。基本形式掌握较好（约85%），但涉及复合函数上限时（如上限为 x²、sinx），约30%的学生忘记乘以上限函数的导数。上下限都是函数的情形正确率约60%，需要更多练习来巩固。

（5）综合应用：例8（三角恒等变换+牛顿-莱布尼茨公式）和例9（换元法+定积分）对学生的综合能力有一定要求，独立完成率约65%。这些例题有效地展示了公式与其他计算技巧的综合运用。

（6）改进方向：①变上限求导推广形式可以设计更多阶梯式练习，从简单到复杂逐步提升；②可以增加一个环节，让学生用定义法和公式法分别计算同一个定积分，通过对比加深对公式优越性的体会；③下次课应安排课前小测，检验学生对牛顿-莱布尼茨公式和变上限求导的掌握情况。