教学项目

无穷小的比较（第6课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第2-5课的学习，学生已掌握极限的基本概念、四则运算法则、各类不定式的处理技巧以及两个重要极限。从第5课的学习反馈来看：

约85%的学生能利用第一个重要极限求三角函数型极限，约70%的学生能利用第二个重要极限处理 1⁻∞ 型极限。但在计算过程中，学生普遍反映“凑标准形式”步骤繁琐、易出错。

本节课引入等价无穷小替换方法，这是极限计算中最高效的工具之一。掌握8个常用等价无穷小公式后，许多需要复杂变形的极限可以直接替换计算，大幅简化运算过程。学生对“无穷小量”的概念已有初步认识（第3课），但对不同无穷小“趋于0的速度”这一概念尚需建立直观。

根据教学计划，本课时为第11-12学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解无穷小的阶的概念：高阶、低阶、同阶、等价、k阶无穷小；

（2）掌握8个常用等价无穷小关系式；

（3）掌握等价无穷小替换定理及其使用条件；

（4）能利用等价无穷小替换方法快速求极限。

能力目标：

（1）培养比较和分类的数学思维能力；

（2）培养灵活运用等价替换简化计算的技巧；

（3）提高极限计算的效率和准确性。

素质目标：

（1）通过无穷小阶的概念，培养精细化思维和精度意识；

（2）通过等价替换方法，体会化繁为简的数学思想。

教学重点

1. 高阶、低阶、同阶、等价无穷小的定义和判别；

2. 8个常用等价无穷小关系式；

3. 等价无穷小替换定理的应用。

教学难点

及应对

1. 等价无穷小替换只能在乘除关系中使用，不能在加减中直接替换；

2. 复合函数型极限中等价替换的正确使用；

3. 综合运用多个等价关系求解复杂极限。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.2-§2.3；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 图形对比 + 公式推导 + 例题分析 + 课堂练习

教学反思

等价无穷小替换是极限计算中最实用的工具之一。教学中先通过函数图像建立“不同无穷小趋于0速度不同”的直观认识，再系统介绍等价无穷小公式和替换定理，最后通过丰富例题巩固应用。重点强调“只能在乘除中替换”这一使用条件。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、无穷小的阶（10 min）

问题引入：

在第3课中学习了无穷小量的概念：以0为极限的函数（或数列）。但不同的无穷小“趋于0的速度”是不同的。

例如当 x→0 时，x、x²、x³ 都是无穷小，但 x³ 比 x² 更快趋于0，x² 又比 x 更快趋于0。如何精确描述这种“快慢”？

定义

设 $''\alpha ''$ 和 $''\beta ''$ 都是同一过程中的无穷小，且 $''\alpha ''''''''\backslash ne''''0''$：

（1）若 $''lim''''''\frac{''\beta ''}{''\alpha ''}''=0''$，则称 $''\beta ''$ 是 $''\alpha ''$ 的高阶无穷小，记 $''\beta ''''=o(''''\alpha '''')''$；

（2）若 $''lim''''''\frac{''\beta ''}{''\alpha ''}''=c''''\backslash ne''''0''$，则称 $''\beta ''$ 与 $''\alpha ''$ 是同阶无穷小；

（3）若 $''lim''''''\frac{''\beta ''}{''\alpha ''}''=1''$，则称 $''\beta ''$ 与 $''\alpha ''$ 是等价无穷小，记 $''\alpha ''''''''\backslash sim''''''''\beta ''$；

（4）若 $''lim''''''\frac{''\beta ''}{''\alpha ''}''=''''\infty ''$，则称 $''\beta ''$ 是 $''\alpha ''$ 的低阶无穷小。

例

当 x→0 时，$''lim''''''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''x''}''=''''lim''{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''=0''$，故 x³ 是 x 的高阶无穷小，记 x³ = o(x)。

二、常用等价无穷小（15 min）

由第5课的两个重要极限及其推论，可以得到以下等价无穷小关系。当 x→0 时：

(1) $''sin''''x''''\backslash sim''''x''$ (2) $''tan''''x''''\backslash sim''''x''$

(3) $''arcsin''''x''''\backslash sim''''x''$ (4) $''arctan''''x''''\backslash sim''''x''$

(5) $''ln''''(1+x)''''\backslash sim''''x''$ (6) ${''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-1''''\backslash sim''''x''$

(7) ${''(1+x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''-1''''\backslash sim''''ax''$ (8) $''1-''''cos''''x''''\backslash sim''''''\frac{''1''}{''2''}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

记忆口诀：

“四个三角反三角都等价于x，对数指数也等价于x，幂-1等价于ax，1-cos等价于半x²”。

三、等价无穷小替换定理（10 min）

定理（等价无穷小替换）

设 $''\alpha ''''''''\backslash sim''''''''\alpha ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}$，$''\beta ''''''''\backslash sim''''''''\beta ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}$，且 $''lim''''''\frac{''\alpha ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}}{''\beta ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}}$ 存在，则

$''lim''''''\frac{''\alpha ''}{''\beta ''}''=''''lim''''''\frac{''\alpha ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}}{''\beta ''{''''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}}$

使用条件（非常重要）：

（1）替换的无穷小必须是作为乘除因子出现的；

（2）不能在加减关系中直接替换！

反例说明：

x→0 时 sin x ∼ x，tan x ∼ x，但：

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''tan''''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}''=''\frac{''1''}{''2''}$（正确答案）

若在加减中直接替换：$\frac{''x-x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}''=0''$（错误！）

例1

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''3x''}{''x''}$

解：x→0 时 3x→0，sin 3x ∼ 3x，

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''3x''}{''x''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''3x''}{''x''}''=3''$

例2

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''tan''''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$

解：先变形为乘除形式：

$''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''x(''\frac{''1''}{''cos''''x''}''-1)''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''x''''\cdot ''''(1-''''cos''''x)''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''\cdot ''''''''cos''''x''}$

替换 sin x ∼ x，1-cos x ∼ x²/2，cos x → 1：

$''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x''''\cdot ''''''\frac{''1''}{''2''}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''\cdot ''''1''}''=''\frac{''1''}{''2''}$

例3

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-1''}{''ln''''(1+x)''}$

解：x→0 时 eˣ-1 ∼ x，ln(1+x) ∼ x，

$''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x''}{''x''}''=1''$

用函数图像建立直观

系统列出8个等价无穷小

强调替换条件：只能乘除

反例警示加减中不能替换

课堂测验

（10 min）

四、课堂练习（15 min）

请同学们利用等价无穷小替换完成以下练习：

1. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''arctan''''2x''}{''x''}$ =____

2. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''ln''''(1+3x)''}{''sin''''5x''}$ =____

3. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2x</ms>}}''-1''}{''tan''''3x''}$ =____

4. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''1-''''cos''''x''}{''x''''\cdot ''''''''sin''''x''}$ =____

5. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{\sqrt{''1+x''}''-1''}{''x''}$ =____ （用 ${''(1+x)''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">a</ms>}}''-1''''\backslash sim''''ax''$ ）

参考答案：

1. arctan 2x ∼ 2x，原式 = 2x/x = 2

2. ln(1+3x) ∼ 3x，sin 5x ∼ 5x，原式 = 3x/(5x) = 3/5

3. e²ˣ-1 ∼ 2x，tan 3x ∼ 3x，原式 = 2x/(3x) = 2/3

4. 1-cos x ∼ x²/2，sin x ∼ x，原式 = (x²/2)/(x·x) = 1/2

5. (1+x)½-1 ∼ (1/2)x（a=1/2），原式 = (1/2)x/x = 1/2

5道练习覆盖各类等价替换

第5题引入幂函数等价形式

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

五、综合题讲解（5 min）

例4（综合应用）

求

解：x→0 时，x²→0，

，$''1-''''cos''''x''''\backslash sim''''''\frac{''1''}{''2''}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}$

$''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{\frac{''1''}{''2''}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=2''$

例5（判断无穷小的阶）

当 x→0 时，1 - cos x 是 x 的几阶无穷小？

解：${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''1-''''cos''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{''1''}{''2''}''\backslash ne''''0''$，

故 1 - cos x 是 x 的2阶无穷小。

综合应用和阶的判断

课堂测验

（10 min）

课堂测验

1. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')''}{''x''''\cdot ''''''''tan''''x''}$ =____

2. ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''ln''''(1+2x)''''\cdot ''''''''arctan''''3x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$ =____

答案：

1. sin(x²) ∼ x²，tan x ∼ x，原式 = x²/(x·x) = 1

2. ln(1+2x) ∼ 2x，arctan 3x ∼ 3x，原式 = 2x·3x/x² = 6

课堂测验检验替换能力

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本节课核心内容：

1. 无穷小的阶——通过比值极限判断两个无穷小的“快慢”关系：

高阶（比值→0）、同阶（比值→常数）、等价（比值→1）、低阶（比值→∞）。

2. 八个常用等价无穷小（当 x→0 时）：

sin x, tan x, arcsin x, arctan x, ln(1+x), eˣ-1 都 ∼ x；

(1+x)ᵃ-1 ∼ ax；1-cos x ∼ x²/2。

3. 等价替换定理：在乘除关系中可以用等价无穷小替换（不能在加减中替换！）。

方法总结：

求极限时先看能否用等价无穷小替换简化，替换后再用四则运算法则或其他方法继续处理。等价替换是极限计算中最高效的工具。

下节课预告：函数的连续性——利用极限的概念定义函数在一点的连续性，研究间断点。

梳理三大核心内容

预告连续性

教学反思

本节课引入了无穷小的比较和等价无穷小替换，是极限计算的核心工具。

教学效果分析：

1. 无穷小阶的概念通过函数图像对比，学生直观理解较好，约85%的学生能正确判断高阶/低阶/同阶；

2. 8个等价无穷小公式，学生记忆需要时间，当堂约60%能熟练默写；

3. 等价替换定理的应用学生掌握较好，简单题正确率约90%；

4. “加减中不能替换”这一限制条件需要反复强调，约30%的学生在练习中仍犯此错误。

改进方向：

1. 制作等价无穷小“速查卡”发给学生，帮助记忆和复习；

2. 增加更多“加减替换错误”的反例，加深印象；

3. 布置课后8个等价无穷小的默写练习。