极限的概念

教学项目

极限的概念（第2课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

本班学生已在第1课完成了函数的基本概念学习，掌握了函数的定义域、值域、四种基本性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）以及反函数、复合函数和基本初等函数等内容。

从第1课的课堂反馈来看：约85%的学生能正确判断函数的基本性质，约70%的学生能建立简单的函数关系式。学生在高中阶段已初步接触过极限的概念（如数列极限），但对极限的严格定义和各种变化趋势下的极限概念缺乏系统学习。

本节课是高等数学的核心概念之一——极限的入门课。极限思想是整个微积分的理论基础，后续的导数、积分、级数等概念都建立在极限之上。学生对极限概念的理解程度将直接影响整个课程的学习效果。

教学中应注重通过实际例子（如动物种群数量、电路电阻、瞬时速度等）帮助学生建立直观理解，再过渡到数学定义。本课时为第3-4学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解自变量的各种变化趋势及其记号（x→∞、x→+∞、x→-∞、x→x₀、x→x₀⁺、x→x₀⁻）；

（2）理解函数在 $x \to ∞$ 时极限的定义（定义2-1），掌握 ${lim}_{x\to∞} f(x)=A$ 的含义；

（3）理解函数在 $x \to x_{0}$ 时极限的定义（定义2-3），掌握 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ 的含义；

（4）理解左极限与右极限的概念（定义2-4），掌握极限存在的充要条件（定理2-2）；

（5）理解数列极限的概念（定义2-5），掌握 ${lim}_{n\to∞} f(n)=A$ 的含义。

能力目标：

（1）能根据函数图形或表达式判断各种变化趋势下的极限值；

（2）能利用左右极限判断函数极限是否存在；

（3）能求简单函数在给定点或趋于无穷时的极限。

素质目标：

（1）通过极限概念的学习，培养从有限到无限的辩证思维能力；

（2）通过实际问题引入极限概念，体会数学来源于实践又服务于实践的思想；

（3）培养严谨的数学表述能力，学会用数学语言描述变化趋势。

教学重点

1. 函数极限的概念： ${lim}_{x\to∞} f(x)=A$ 和 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ 的直观理解；

2. 左极限与右极限的概念及极限存在的充要条件（左右极限相等）；

3. 利用极限定义求简单函数的极限值。

教学难点

及应对

1. 极限 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ 与函数值 ${f(x}_{0})$ 的区别——极限只关心趋近过程，与该点的函数值无关；

2. 分段函数在分段点处的左右极限判断；

3. 自变量变化趋势的精确描述与区分。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.1；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 启发式教学 + 图形演示 + 课堂练习

教学反思

极限是高等数学最核心的概念，本节课采用“实例引入→直观理解→定义给出”的教学路径，通过丰富的实际例子帮助学生建立极限的直观认识。教学中注意区分极限值与函数值的区别，这是学生最容易混淆的地方。左右极限的判断通过分段函数的图形来进行，直观有效。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习与引入（5 min）

1. 复习回顾

上节课学习了函数的概念与性质。我们知道，函数描述了变量之间的对应关系。

但在很多实际问题中，我们更关心的是：当自变量发生某种变化时，函数值将会趋向什么结果？这就是极限所要研究的问题。

2. 实际问题引入

实例1（教材实例1）：在某自然保护区中，野生动物群体数量 $N(t)$ 随时间t增长而趋于某个饱和值。当 $t \to ∞$ 时，N(t)趋向一个确定的常数——这就是极限。

实例2（教材实例3）：并联电路中总电阻 $R_{T} = \frac{5R}{5+R}$ ，当可变电阻 $R \to + ∞$ 时， $R_{T} \to 5$ 。

实例3（教材实例5）：物体自由落体的瞬时速度，是平均速度在 $Δ t \to 0$ 时的极限。

这些例子说明：极限是描述函数变化趋势的工具，是微积分的基石。

二、自变量的变化趋势（5 min）

在讨论极限之前，先明确自变量有哪些变化趋势。教材表2-1列出了六种：

(1) $x \to ∞$ ——x的绝对值无限增大；

(2) $x \to + ∞$ ——x取正值无限增大；

(3) $x \to - ∞$ ——x取负值而绝对值无限增大；

(4) $x \to x_{0}$ ——x无限趋近于 $x_{0}$ （从两侧任意趋近）；

(5) $x \to {x_{0}}^{+}$ ——x从 $x_{0}$ 的右侧趋近；

(6) $x \to {x_{0}}^{-}$ ——x从 $x_{0}$ 的左侧趋近。

三、x→∞时，函数f(x)的极限（10 min）

定义2-1（教材）

如果当x的绝对值无限增大（即 $x \to ∞$ ）时，函数 $f(x)$ 无限接近于一个确定的常数A，那么称A为函数 $f(x)$ 在 $x \to ∞$ 时的极限，记为

${lim}_{x\to∞} f(x)=A$

类似地，定义2-2给出了 x→+∞ 和 x→-∞ 时极限的概念。

定理2-1 极限存在的充要条件

${lim}_{x\to∞} f(x)=A \Leftrightarrow {lim}_{x\to+∞} f(x)=A$ 且 ${lim}_{x\to-∞} f(x)=A$

例1（教材例1）

考察 $y= arctan x$ 在 $x \to ∞$ 时的极限。

解： ${lim}_{x\to+∞} arctan x= \frac{π}{2}$ ， ${lim}_{x\to-∞} arctan x=- \frac{π}{2}$

因为左右两个极限不相等，所以 ${lim}_{x\to∞} arctan x$ 不存在。

例2（教材例2）

求 ${lim}_{x\to∞} e^{x}$ 。

解： ${lim}_{x\to+∞} e^{x} =+ ∞$ （趋向无穷，不是极限）， ${lim}_{x\to-∞} e^{x} =0$ 。

因此 ${lim}_{x\to∞} e^{x}$ 不存在。

四、x→x₀时，函数f(x)的极限（15 min）

定义2-3（教材）

如果当 $x \to x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 无限接近于一个确定的常数A，那么称A为函数 $f(x)$ 在 $x \to x_{0}$ 时的极限，记为

${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$

关键理解两点：

(1) $x \to x_{0}$ 的趋近方式是任意的，既可以从左侧趋近，也可以从右侧趋近；

(2) 极限 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ 与函数在 $x_{0}$ 处是否有定义无关。极限只关心趋近过程中函数值的变化趋势。

左极限与右极限（定义2-4）

右极限： ${lim}_{x\to{x_{0}}^{+}} f(x)=A$ （x从 $x_{0}$ 的右侧趋近）

左极限： ${lim}_{x\to{x_{0}}^{-}} f(x)=A$ （x从 $x_{0}$ 的左侧趋近）

定理2-2 极限存在的充要条件

${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A \Leftrightarrow {lim}_{x\to{x_{0}}^{+}} f(x)= {lim}_{x\to{x_{0}}^{-}} f(x)=A$

即：函数极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等。

例3（教材例3）

设分段函数

$f(x)=x+1$ （x<0）， $f(x)=x$ （0≤x<1）， $f(x)=2-x$ （x≥1）

讨论 ${lim}_{x\to0} f(x)$ 和 ${lim}_{x\to1} f(x)$ 是否存在。

解：

(1) 讨论 ${lim}_{x\to0} f(x)$ ：

左极限： ${lim}_{x\to0^{-}} f(x)= {lim}_{x\to0^{-}} (x+1)=1$

右极限： ${lim}_{x\to0^{+}} f(x)= {lim}_{x\to0^{+}} x=0$

因为左极限=1 $≠$ 右极限=0，所以 ${lim}_{x\to0} f(x)$ 不存在。

(2) 讨论 ${lim}_{x\to1} f(x)$ ：

左极限： ${lim}_{x\to1^{-}} f(x)= {lim}_{x\to1^{-}} x=1$

右极限： ${lim}_{x\to1^{+}} f(x)= {lim}_{x\to1^{+}} (2-x)=1$

因为左右极限相等，所以 ${lim}_{x\to1} f(x)=1$ 存在。

从实际问题引入极限概念，建立直观认识

明确六种变化趋势，为后续讨论做准备

结合教材定义与实例，循序渐进

通过arctan x和e^x的例子说明极限可能不存在

强调极限与函数值的区别

分段函数是左右极限的最佳教学素材

课堂测验

（10 min）

五、数列极限（5 min）

定义2-5（教材）

数列可以看作以正整数n为自变量的函数f(n)。如果当 $n \to ∞$ 时，函数f(n)无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列f(n)的极限，记为

${lim}_{n\to∞} f(n)=A$

常见数列极限举例：

(1) ${lim}_{n\to∞} \frac{1}{n} =0$

(2) ${lim}_{n\to∞} \frac{n+1}{n} = {lim}_{n\to∞} (1+ \frac{1}{n})=1$

(3) ${lim}_{n\to∞} q^{n} =0$ （当 $|q|<1$ 时）

六、补充例题（10 min）

例4

求下列极限：

(1) ${lim}_{x\to2} (3x-1)$

解：当 $x \to 2$ 时， $3x-1 \to 3 × 2-1=5$ 。所以 ${lim}_{x\to2} (3x-1)=5$ 。

(2) ${lim}_{x\to∞} \frac{1}{x^{2}}$

解：当 $x \to ∞$ 时， $x^{2} \to ∞$ ，所以 $\frac{1}{x^{2}} \to 0$ 。即 ${lim}_{x\to∞} \frac{1}{x^{2}} =0$ 。

(3) ${lim}_{x\to+∞} \frac{5R}{5+R}$ （R为自变量）

解：分子分母同除以R： $\frac{5R}{5+R} = \frac{5}{\frac{5}{R} +1}$ 。

当 $R \to + ∞$ 时， $\frac{5}{R} \to 0$ ，所以极限 = $\frac{5}{0+1} =5$ 。

例5

判断下列分段函数在指定点的极限是否存在：

设 ${f(x)=e}^{x}$ （x≤0）， $f(x)=ax+b$ （x>0），问当a、b取何值时 ${lim}_{x\to0} f(x)$ 存在？

解：

左极限： ${lim}_{x\to0^{-}} f(x)= {lim}_{x\to0^{-}} e^{x} {=e}^{0} =1$

右极限： ${lim}_{x\to0^{+}} f(x)= {lim}_{x\to0^{+}} (ax+b)=b$

极限存在要求左右极限相等，即b=1。a可以为任意值。

数列极限是函数极限的特殊情形

常见数列极限为后续运算做准备

补充例题巩固各种极限概念

例5训练左右极限的充要条件

第二节课

课堂练习（15 min）

七、课堂练习（10 min）

请同学们独立完成以下练习（教材习题2-1选编）：

一、判断题：

(1) 若 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ ，则 ${f(x}_{0})=A$ 。( )

(2) 若 ${f(x}_{0}^{+})$ 与 ${f(x}_{0}^{-})$ 都存在，则 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)$ 必存在。( )

(3) ${lim}_{x\to∞} arctan x= \frac{π}{2}$ 。( )

(4) ${lim}_{x\to-∞} e^{x} =0$ 。( )

答案：(1)✗ (2)✗ (3)✗ (4)✓

说明：(1)极限值与函数值可以不等；(2)左右极限存在但可能不相等；(3)x→∞时左右极限不等。

二、填空题：

(1) ${lim}_{x\to1} (2x-1)$ = ____。

(2) ${lim}_{x\to∞} \frac{1}{{1+x}^{2}}$ = ____。

(3) ${lim}_{x\to0} cos x$ = ____。

(4) 设 ${f(x)=e}^{x}$ （x≤0）， $f(x)=ax+b$ （x>0）。当b=____ 时， ${lim}_{x\to0} f(x)=1$ 。

答案：(1) 1 (2) 0 (3) 1 (4) b=1

课堂练习即时检验学习效果

判断题训练概念辨析能力

填空题训练计算能力

课堂测验

（10 min）

课堂测验

请在5分钟内完成：

1. 求 ${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x-3}$ 。

2. 设 ${f(x)=x}^{2}$ （x<1）， $f(x)=2x-1$ （x≥1），求 ${lim}_{x\to1} f(x)$ 。

参考答案：

1. ${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x-3} = {lim}_{x\to3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = {lim}_{x\to3} (x+3)=6$

2. 左极限： ${lim}_{x\to1^{-}} x^{2} =1$ ；右极限： ${lim}_{x\to1^{+}} (2x-1)=1$ 。左=右=1，所以 ${lim}_{x\to1} f(x)=1$ 。

课堂测验检验核心能力

第1题涉及0/0型化简

第2题考察左右极限

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、本节核心概念

1. 函数极限 ${lim}_{x\to∞} f(x)=A$ ：x绝对值无限增大时f(x)趋向A；

2. 函数极限 ${lim}_{x\tox_{0}} f(x)=A$ ：x趋向 $x_{0}$ 时f(x)趋向A；

3. 左极限和右极限：从不同方向趋近时的极限值；

4. 数列极限 ${lim}_{n\to∞} f(n)=A$ ：数列的特殊极限。

二、关键定理

极限存在的充要条件：左极限 = 右极限

三、易错点提醒

1. 极限值与函数值是两个不同的概念——极限只关心趋近过程；

2. 左右极限都存在不等于极限存在——还要求它们相等；

3. ${lim}_{x\to∞} f(x)$ 存在要求 $x \to + ∞$ 和 $x \to - ∞$ 两个方向的极限相等。

下节课预告：极限的运算法则——四则运算法则和无穷小量。

系统总结本课核心概念

强调易错点，加深理解

预告下节课内容

教学反思

本节课是极限概念的入门课，教学内容较多，需要合理把握教学节奏。

教学效果分析：

1. 通过自然保护区动物数量、并联电路电阻、瞬时速度三个实际例子引入极限概念，学生表现出较高的学习兴趣，对极限的直观含义理解较好。

2. 自变量的六种变化趋势学生基本能够区分，但部分学生对x→∞与x→+∞的区别理解不够到位，需要在后续教学中反复强调。

3. 左右极限的概念通过分段函数的图形来讲解效果较好，约80%的学生能够正确判断分段函数在分段点处的左右极限。

4. 部分学生仍然混淆极限值与函数值，下次教学中应增加更多对比例题。

改进方向：

1. 增加GeoGebra动态演示，让学生直观感受“趋近”过程；

2. 设计更多判断极限是否存在的练习题；

3. 适当补充数列极限的图形展示。