极限的求法

教学项目

极限的求法（第4课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第2-3课的学习，学生已掌握极限的基本概念、无穷小量与无穷大量的概念，以及极限的四则运算法则。从第3课的课堂练习反馈来看：约90%的学生能正确使用直接代入法求极限，约75%的学生能处理∞/∞型极限（分子分母同除最高次幂），约65%的学生能处理简单的0/0型极限（因式分解）。

主要困难：(1) 复杂的0/0型极限（需要有理化或其他变形技巧）处理不够熟练；(2) 遇到∞-∞型时不知道如何通分转化；(3) 分子分母含根号的极限计算容易出错。

本节课专门进行极限计算的强化训练，通过系统的题型分类和大量例题，帮助学生建立“看到题型→选择方法”的解题思路。

根据教学计划，本课时为第7-8学时。

教学目标

知识目标：

（1）系统掌握五种常见极限类型的识别和处理方法；

（2）掌握0/0型极限的三种处理技巧：因式分解、有理化、约分；

（3）掌握∞/∞型极限的处理：分子分母同除最高次幂；

（4）掌握∞-∞型极限的处理：通分转化为0/0型；

（5）掌握利用无穷小性质求极限：有界乘无穷小=0。

能力目标：

（1）培养快速识别极限类型的判断能力；

（2）培养灵活选择求极限方法的分析能力；

（3）提高极限计算的速度和准确性。

素质目标：

（1）通过系统的题型训练，培养分类思维和问题分析能力；

（2）通过规范的解题步骤，培养严谨的运算习惯。

教学重点

1. 0/0型极限的各种处理技巧（因式分解、有理化、约分）；

2. ∞/∞型极限的处理方法（同除最高次幂）；

3. 极限类型的快速识别和方法选择。

教学难点

及应对

1. 含根号的0/0型极限的有理化处理；

2. ∞-∞型极限的通分与化简技巧；

3. 综合题型中的灵活选择方法。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.3；多媒体课件；板书

教学方法

讲练结合 + 题型分类法 + 板书示范 + 课堂练习

教学反思

本节课是极限计算的强化训练课，采用“题型分类+方法对应”的教学策略。通过系统梳理五种常见极限类型及其对应方法，帮助学生建立清晰的解题思路。课堂练习占较大比例，确保学生有充分的动手计算机会。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、极限类型总结与方法梳理（5 min）

上节课学习了极限的四则运算法则和几种常见类型的处理方法。本节课系统梳理极限求法，通过大量例题进行强化训练。

极限求法的基本思路：

第一步：判断类型——直接代入看分子分母极限是否存在；

第二步：选择方法——根据类型选用对应的化简技巧；

第三步：化简计算——化为可以使用四则运算法则的形式。

五种常见类型：

类型1：直接代入型（分母极限不为0）——直接代入；

类型2：0/0型——因式分解、有理化、约分；

类型3：∞/∞型——分子分母同除最高次幂；

类型4：∞-∞型——通分后化为0/0型；

类型5：0·∞型——化为0/0型或∞/∞型。

二、0/0型极限详解（15 min）

方法1：因式分解消去零因子

例1

求 ${lim}_{x\to1} \frac{x^{3} -1}{x^{2} -1}$

解：分子 $x^{3} {-1=(x-1)(x}^{2} +x+1)$ ，分母 $x^{2} -1=(x-1)(x+1)$

$= {lim}_{x\to1} \frac{{(x-1)(x}^{2} +x+1)}{(x-1)(x+1)} = {lim}_{x\to1} \frac{x^{2} +x+1}{x+1} = \frac{3}{2}$

例2

求 ${lim}_{x\to2} \frac{x^{2} -5x+6}{x^{2} -4}$

解： $= {lim}_{x\to2} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = {lim}_{x\to2} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1}{4}$

方法2：有理化（含根号的情形）

例3

求 ${lim}_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x}$

解：分子有理化，乘以共轭表达式：

$= {lim}_{x\to0} \frac{(\sqrt{1+x} -1)(\sqrt{1+x} +1)}{x(\sqrt{1+x} +1)} = {lim}_{x\to0} \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x} +1)}$

$= {lim}_{x\to0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} +1)} = {lim}_{x\to0} \frac{1}{\sqrt{1+x} +1} = \frac{1}{2}$

例4

求 ${lim}_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

解：分子有理化：

$= {lim}_{x\to0} \frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = {lim}_{x\to0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

$= {lim}_{x\to0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{2}{1+1} =1$

三、∞/∞型和∞-∞型（10 min）

∞/∞型：抓最高次幂

例5

求 ${lim}_{x\to∞} \frac{{2x}^{3} +3x-1}{{5x}^{3} {-x}^{2} +2}$

解：分子分母同除以 $x^{3}$ ：

$= {lim}_{x\to∞} \frac{2+ \frac{3}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}}{5- \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}} = \frac{2}{5}$

例6

求 ${lim}_{x\to+∞} \frac{\sqrt{x^{2} +1}}{2x+1}$

解：分子分母同除以x（x>0时 $x= \sqrt{x^{2}}$ ）：

$= {lim}_{x\to+∞} \frac{\sqrt{1+ \frac{1}{x^{2}}}}{2+ \frac{1}{x}} = \frac{1}{2}$

∞-∞型：通分或有理化

例7

求 ${lim}_{x\to+∞} (\sqrt{x^{2} +x} -x)$

解：乘以共轭表达式（有理化）：

$= {lim}_{x\to+∞} \frac{{(x}^{2} {+x)-x}^{2}}{\sqrt{x^{2} +x} +x} = {lim}_{x\to+∞} \frac{x}{\sqrt{x^{2} +x} +x}$

同除以x： $= {lim}_{x\to+∞} \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{x}} +1} = \frac{1}{2}$

四、0·∞型与综合题（5 min）

例8

求 ${lim}_{x\to0^{+}} x ⋅ ln x$

解：化为∞/∞型： $= {lim}_{x\to0^{+}} \frac{ln x}{\frac{1}{x}}$ （此处两者均趋于∞，需用后续方法处理，暂留悬念）。

例9

求 ${lim}_{x\to∞} {(x}^{2} -3x)$

解： $= {lim}_{x\to∞} x(x-3)= ∞$ （极限不存在）。

先总结方法框架，再逐类详解

0/0型是最常见类型，需多种方法

∞/∞型和∞-∞型对比讲解

留悬念为后续洛必达法则做铺垫

课堂测验

（10 min）

五、课堂练习（15 min）

请同学们独立完成以下练习：

1. ${lim}_{x\to-1} \frac{x^{2} +3x+2}{x^{2} -1}$ =____ （0/0型，因式分解）

2. ${lim}_{x\to0} \frac{\sqrt{4+x} -2}{x}$ =____ （0/0型，有理化）

3. ${lim}_{x\to∞} \frac{{3x}^{2} -x+1}{x^{2} +2x-5}$ =____ （∞/∞型）

4. ${lim}_{x\to1} (\frac{3}{{1-x}^{3}} - \frac{1}{1-x})$ =____ （∞-∞型）

5. ${lim}_{x\to+∞} (\sqrt{x^{2} +3x} -x)$ =____ （∞-∞型）

参考答案：

1. 因式分解：(x+1)(x+2)/[(x+1)(x-1)] = (x+2)/(x-1) → -1/(-2) = 1/2

2. 有理化：x/[x(√(4+x)+2)] → 1/(√4+2) = 1/4

3. 同除x²：(3-1/x+1/x²)/(1+2/x-5/x²) → 3/1 = 3

4. 通分：3/(1-x³) - 1/(1-x) = [3-(1+x+x²)]/(1-x³) = (2-x-x²)/(1-x³) → -1

5. 有理化：3x/(√(x²+3x)+x) → 3/2

每题标注类型，训练类型识别能力

覆盖本课所有类型

第二节课

课堂测验与总结（15 min）

六、综合练习（5 min）

求 ${lim}_{x\to4} \frac{3- \sqrt{5+x}}{1- \sqrt{5-x}}$

解析：分子分母都是0/0型，分别有理化：

分子有理化乘以 $(3+ \sqrt{5+x})$ ，分母有理化乘以 $(1+ \sqrt{5-x})$ ：

$= {lim}_{x\to4} \frac{(9-(5+x))(1+ \sqrt{5-x})}{(1-(5-x))(3+ \sqrt{5+x})} = {lim}_{x\to4} \frac{(4-x)(1+ \sqrt{5-x})}{(x-4)(3+ \sqrt{5+x})}$

$= {lim}_{x\to4} \frac{-(1+ \sqrt{5-x})}{3+ \sqrt{5+x}} = \frac{-(1+1)}{3+3} =- \frac{1}{3}$

综合题检验综合运用能力

课堂测验

（10 min）

课堂测验

1. ${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x^{2} -6x+9}$ =____

2. ${lim}_{x\to∞} \frac{x+1}{\sqrt{{4x}^{2} +1}}$ =____

答案：

1. $= {lim}_{x\to3} \frac{(x+3)(x-3)}{{(x-3)}^{2}} = {lim}_{x\to3} \frac{x+3}{x-3}$ → ∞（极限不存在）

2. 分子分母同除以x：(1+1/x)/√(4+1/x²) → 1/2

课堂测验检验核心技能

课堂小结

（5 min）

课堂小结

求极限的方法总结：

1. 先代入看是否为0/0、∞/∞等不定式；

2. 若非不定式，直接代入或用四则运算法则；

3. 0/0型：因式分解、有理化消去零因子；

4. ∞/∞型：分子分母同除最高次幂；

5. ∞-∞型：通分或有理化后转化处理；

6. 0·∞型：化为0/0或∞/∞型。

关键原则：

所有的处理方法本质上都是“化简”——把不能直接求的形式化为可以使用四则运算法则的形式。

下节课预告：两个重要极限——sin x/x 和 (1+1/x)ˣ。

方法总结形成知识框架

预告下节重要极限

教学反思

本节课是极限计算的强化训练课，课堂练习占比约40%。

教学效果分析：

1. 题型分类法教学效果较好，学生在做练习时能够较快识别极限类型；

2. 0/0型因式分解学生掌握最好（约90%正确率），有理化约70%正确率；

3. ∞-∞型的通分和有理化是最大难点，约50%的学生需要提示才能完成；

4. 含根号的极限计算中，分子分母同除x时x的处理（正负号）容易出错。

改进方向：

1. 制作“极限求法速查卡”发给学生作为工具参考；

2. ∞-∞型增加更多通分练习；

3. 补充“两步有理化”的综合题训练。