极限运算与无穷量

教学项目

极限运算与无穷量（第3课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过第2课的学习，学生已经掌握了极限的基本概念，包括函数在x→∞和x→x₀时的极限定义，左极限与右极限的概念，以及极限存在的充要条件（左右极限相等）。

从第2课的课堂测验反馈来看：约85%的学生能正确求简单函数的极限值，约75%的学生能正确判断分段函数在分段点处的左右极限。主要困难在于部分学生对极限值与函数值的区别理解不够透彻。

本节课将在极限概念基础上，引入无穷小量和无穷大量的概念，并学习极限的四则运算法则。这些内容是后续求极限、判断函数连续性的工具性知识。学生需要在理解概念的基础上熟练掌握运算法则并能灵活运用。

根据教学计划，本课时为第5-6学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解无穷小量的定义：极限为零的函数称为无穷小量（定义2-6）；

（2）掌握无穷小量的两条性质：有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；

（3）理解无穷大量的定义（定义2-8），理解无穷大量与无穷小量互为倒数的关系；

（4）掌握极限的四则运算法则：若 $lim f(x)=A$ ， $lim g(x)=B$ ，则

$lim (f(x) ± g(x))=A ± B$ ， $lim (f(x) ⋅ g(x))=A ⋅ B$ ， $lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （B≠0）；

（5）掌握运用四则运算法则求极限的方法。

能力目标：

（1）能正确判断给定函数是否为无穷小量或无穷大量；

（2）能利用无穷小量的性质进行极限计算；

（3）能熟练运用四则运算法则求各类极限。

素质目标：

（1）通过无穷小量和无穷大量的概念，培养辩证思维——无穷小不是“很小的数”，而是极限为零的变量；

（2）通过运算法则的系统学习，培养规范化、条理化的计算习惯。

教学重点

1. 无穷小量的定义及其两条性质；

2. 极限的四则运算法则及其应用；

3. $\frac{∞}{∞}$ 型和 $\frac{0}{0}$ 型极限的处理方法。

教学难点

及应对

1. 无穷小量与“很小的数”的区别——无穷小是变量，不是常量；

2. $\frac{∞}{∞}$ 型极限的处理：分子分母同除以最高次幂；

3. $\frac{0}{0}$ 型极限的处理：因式分解、有理化等技巧。

教学资源

教材《高等数学》第2章 §2.2-§2.3（前半）；多媒体课件；板书

教学方法

讲授法 + 板书推导 + 启发式教学 + 课堂练习

教学反思

本节课内容较多，涉及无穷小量、无穷大量的概念以及极限四则运算法则。教学中注意控制节奏，概念部分不宜过长，重点放在运算法则的应用上。通过大量典型例题帮助学生掌握各类型极限的计算方法。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习与引入（3 min）

上节课我们学习了极限的概念。本节课将学习两个重要概念——无穷小量和无穷大量，以及极限计算中最基本的工具——四则运算法则。

二、无穷小量与无穷大量（12 min）

1. 无穷小量的定义（定义2-6）

如果当 $x \to x_{0}$ （或 $x \to ∞$ ）时，函数 $f(x)$ 的极限为0，那么称函数 $f(x)$ 为 $x \to x_{0}$ （或 $x \to ∞$ ）时的无穷小量，简称无穷小。

注意：

（1）无穷小量与自变量的变化趋势密切相关。例如f(x)=1/x，当x→∞时为无穷小，而当x→1时就不是无穷小；

（2）无穷小不是“很小的数”，而是极限为零的变量。但若f(x)≡0，则它是唯一的常数无穷小；

（3）零是唯一既是常数又是无穷小量的数。

2. 无穷小量的性质

性质1：有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。

性质2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。

性质2的典型应用：

求 ${lim}_{x\to∞} \frac{sin x}{x}$ 。因为 $| sin x| ≤ 1$ （有界）， $\frac{1}{x} \to 0$ （无穷小），所以 ${lim}_{x\to∞} \frac{sin x}{x} =0$ 。

3. 无穷大量（定义2-8）

如果当 $x \to x_{0}$ （或 $x \to ∞$ ）时，函数 $f(x)$ 的绝对值无限增大，则称 $f(x)$ 为无穷大量，简称无穷大。

注意：

（1）无穷大量同样与自变量的变化趋势密切相关；

（2）无穷大的极限是不存在的，用∞只是一种记号；

（3）无穷大与无穷小互为倒数关系。

三、极限的四则运算法则（20 min）

定理（极限的四则运算公式）

若 $lim f(x)=A$ ， $lim g(x)=B$ ，则：

（1） $lim (f(x) ± g(x))=A ± B$

（2） $lim (f(x) ⋅ g(x))=A ⋅ B$

（3） $lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （ $B ≠ 0$ ）

推论：

（1） $lim (k ⋅ f(x))=k ⋅ A$ （k为常数）

（2） $lim {(f(x))}^{n} {=A}^{n}$ （n为正整数）

例1（教材例1）直接代入法

求 ${lim}_{x\to1} \frac{{3x}^{2} +x+1}{{4x}^{3} {+x}^{2} -x+3}$

解：分子分母的极限均存在且分母极限不为0，直接代入：

$= \frac{3+1+1}{4+1-1+3} = \frac{5}{7}$

例2（教材例2）∞/∞型

求 ${lim}_{x\to∞} \frac{{3x}^{3} {-4x}^{2} +2}{{7x}^{3} {+5x}^{2} -3}$

解：分子分母同除以 $x^{3}$ （最高次幂）：

$= {lim}_{x\to∞} \frac{3- \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{3}}}{7+ \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{3}}} = \frac{3-0+0}{7+0-0} = \frac{3}{7}$

∞/∞型解题规律：

分子分母同除以x的最高次幂，利用1/x→0即可求出极限。

若分子最高次=分母最高次，极限=首项系数之比；

若分子次数<分母次数，极限=0；

若分子次数>分母次数，极限为∞（不存在）。

例3（教材例3）0/0型——有理化

求 ${lim}_{x\to4} \frac{x-4}{\sqrt{x-2} - \sqrt{2}}$

解：分母有理化，乘以 $(\sqrt{x-2} + \sqrt{2})$ ：

$= {lim}_{x\to4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{2})}{(x-2)-2} = {lim}_{x\to4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{2})}{x-4}$

$= {lim}_{x\to4} (\sqrt{x-2} + \sqrt{2})= \sqrt{2} + \sqrt{2} =2 \sqrt{2}$

例4（教材例4）∞-∞型——通分

求 ${lim}_{x\to1} (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^{2} -1})$

解：通分后化简：

$= {lim}_{x\to1} \frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)} = {lim}_{x\to1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = {lim}_{x\to1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$

简短复习引入新内容

无穷小量概念强调与变化趋势的关系

性质2是重要计算工具

四则运算法则是求极限的基础

例题按类型由浅入深

课堂测验

（10 min）

四、补充例题（10 min）

例5 0/0型——因式分解

求 ${lim}_{x\to2} \frac{x^{2} -4}{x^{2} -3x+2}$

解：分子分母因式分解：

$= {lim}_{x\to2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x-2)} = {lim}_{x\to2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{4}{1} =4$

例6

求 ${lim}_{x\to∞} \frac{{2x}^{2} +x+1}{{3x}^{3} +1}$

解：分子最高次(2)<分母最高次(3)，所以极限=0。

验证：同除以x³：

$= {lim}_{x\to∞} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{3+ \frac{1}{x^{3}}} = \frac{0}{3} =0$

例7

求 ${lim}_{x\to0} x sin \frac{1}{x}$

解： $| sin \frac{1}{x} | ≤ 1$ （有界），x→0（无穷小），

由性质2， ${lim}_{x\to0} x sin \frac{1}{x} =0$ 。

补充例题巩固各种类型

例7综合应用无穷小性质

第二节课

课堂练习（15 min）

五、课堂练习（10 min）

一、判断题（教材习题2-2选编）：

（1）非常小的数是无穷小。( )

（2）零是无穷小。( )

（3）无限变小的变量称为无穷小。( )

（4）有限个无穷小的和还是无穷小。( )

答案：(1)✗ (2)✓ (3)✗ (4)✓

二、计算题（教材习题2-3选编）：

(1) ${lim}_{x\to-1} \frac{3x+1}{x^{2} +1}$ =____

(2) ${lim}_{x\to∞} \frac{x^{2} -1}{{2x}^{2} -x-1}$ =____

(3) ${lim}_{x\to∞} \frac{{2x}^{2} +x+1}{{3x}^{3} +1}$ =____

(4) ${lim}_{x\to2} \frac{x^{3} {+2x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}$ =____

答案：(1) -1 (2) 1/2 (3) 0 (4) ∞（极限不存在）

判断题强化概念理解

计算题覆盖直接代入、∞/∞、0/0等类型

课堂测验

（10 min）

课堂测验

1. 求 ${lim}_{x\to3} \frac{x^{2} -9}{x-3}$

2. 求 ${lim}_{x\to∞} \frac{{5x}^{2} -3x+1}{{2x}^{2} +x-4}$

3. 求 ${lim}_{x\to∞} \frac{sin 3x}{x}$

参考答案：

1. $= {lim}_{x\to3} (x+3)=6$

2. 分子分母最高次相同，极限 = 5/2

3. |sin 3x|≤1（有界），1/x→0（无穷小），所以极限=0

覆盖三种主要题型

课堂小结

（5 min）

课堂小结

一、无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量：极限为零的函数（变量，不是常量）；

2. 无穷小量的性质：有限个无穷小的代数和/乘积仍为无穷小；有界函数乘无穷小仍为无穷小；

3. 无穷大量：绝对值无限增大的函数；

4. 无穷大与无穷小互为倒数。

二、极限的四则运算法则

前提：参与运算的极限都存在（有限值）。

和差：lim(f±g) = lim f ± lim g

积：lim(f·g) = lim f · lim g

商：lim(f/g) = lim f / lim g（分母极限≠0）

三、常见极限类型

1. 直接代入型：分母极限≠0，直接代入；

2. ∞/∞型：分子分母同除最高次幂；

3. 0/0型：因式分解或有理化消去公因子；

4. ∞-∞型：通分后转化为0/0型。

下节课预告：极限的求法——更多技巧和方法。

分模块总结核心内容

总结常见极限类型和方法

教学反思

本节课内容包含无穷小量/无穷大量的概念和极限四则运算法则两大块。

教学效果分析：

1. 无穷小量的概念学生基本能理解，但“无穷小不是很小的数”这一点仍有约20%的学生混淆，判断题的正确率印证了这一点。后续教学中需要反复强调。

2. 四则运算法则的直接应用（代入法）学生掌握较好，但遇到∞/∞型和0/0型时，部分学生不知道如何变换。建议下次增加变换思路的引导。

3. 有界函数乘无穷小=无穷小（性质2）的应用需要更多练习，学生对“有界”的判断还不够敏感。

改进方向：

1. 增加更多∞/∞型和0/0型的练习，形成解题思维模式；

2. 通过表格对比各种极限类型的处理方法；

3. 性质2的应用可设计更多变式题。