教学项目

洛必达法则（第15课时）

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

上节课学习了微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理），学生已理解中值定理的条件和结论，掌握了构造辅助函数的基本思路。

本课利用柯西中值定理推导洛必达法则，将中值定理的理论成果转化为实用的计算工具。洛必达法则是求未定式极限的重要方法，学生在极限一章已接触过 0/0 型极限的求解，但缺乏系统的处理手段。

根据教学计划，本课时为第29-30学时。

教学目标

知识目标：

（1）理解七种未定式的概念与分类；

（2）掌握 0/0 型和 ∞/∞ 型洛必达法则的使用条件与计算方法；

（3）掌握其他五种未定式的转化技巧。

能力目标：

（1）能正确判断极限是否为未定式，并选择合适的处理方法；

（2）能熟练运用洛必达法则求各类未定式极限。

素质目标：

（1）通过常见错误辨析，培养严谨的计算习惯；

（2）理解洛必达法则的理论依据（柯西中值定理），体会定理与应用的关系。

教学重点

1. 0/0 型和 ∞/∞ 型洛必达法则的使用条件；

2. 各种未定式的转化方法（取对数、通分、写成分式）；

3. 洛必达法则的综合应用。

教学难点

及应对

1. 使用条件的验证（何时能用、何时不能用）；

2. 幂指函数型未定式的处理（取对数后再求极限）；

3. “能化简先化简”原则的把握。

教学资源

教材《高等数学》；多媒体课件；可视化图形

教学方法

讲授法 + 例题演示 + 错误辨析 + 课堂练习

教学反思

本课是导数应用的实用计算工具。教学上先分类后示范，重在“使用条件的辨析”和“转化思路的训练”，避免学生养成“遇到极限就洛必达”的不良习惯。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

新课讲授（35 min）

一、未定式的分类（5 min）

【引入】

在极限运算中，有些极限不能直接用代入法或四则运算法则求解，因为它们呈现“不确定”的形式。

两类基本未定式：

（1）$\frac{''0''}{''0''}$ 型：分子分母都趋于零；

（2）$\frac{''\infty ''}{''\infty ''}$ 型：分子分母都趋于无穷。

五类衍生未定式：

0 · ∞ 型、∞ - ∞ 型、1∞ 型、0⁰ 型、∞⁰ 型——都需要先转化为基本未定式，再用洛必达法则。

二、洛必达法则（15 min）

定理（0/0 型）：

设 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}''f(x)=0''$，${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}''g(x)=0''$，

f(x)、g(x) 在 a 的去心邻域内可导，且 g′(x) ≠ 0，

若 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}\frac{{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''}{{''g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''}$ 存在（或为 ±∞），则

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}\frac{''f(x)''}{''g(x)''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; a</ms>}}\frac{{''f''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''}{{''g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)''}$

注意：分子分母分别求导，不是商的导数！

例1（0/0 型）

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-1''}{''x''}$。

解：分子分母均趋于0，为 0/0 型。

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-1''}{''x''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}{''1''}''=1''$。

例2（∞/∞ 型）

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''ln''''x''}{''x''}$。

解：∞/∞ 型。${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''ln''''x''}{''x''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''1/x''}{''1''}''=0''$。

例3（连续使用两次）

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$。

解：0/0 型，连续使用洛必达法则：

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''x-''''sin''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''1-''''cos''''x''}{{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''x''}{''6x''}''=''\frac{''1''}{''6''}$

三、其他未定式的转化（15 min）

（1）0 · ∞ 型：写成分式

例4

求 。

解：0 · (−∞) 型，改写为 ∞/∞ 型：

（2）∞ − ∞ 型：通分或变形

例5

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}''(''\frac{''1''}{''x''}''-''\frac{''1''}{''sin''''x''}'')''$。

解：通分化为 0/0 型：

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''sin''''x-x''}{''x''''\cdot ''''''''sin''''x''}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''cos''''x-1''}{''sin''''x+x''''\cdot ''''''''cos''''x''}''=''\frac{''0''}{''0+0''}$

再用一次洛必达：${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''-''''sin''''x''}{''cos''''x+''''cos''''x-x''''\cdot ''''''''sin''''x''}''=''\frac{''0''}{''2''}''=0''$。

（3）幂指函数型（1∞、0⁰、∞⁰）：取对数

例6

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}''(1+''\frac{''1''}{''x''}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$（1∞ 型）。

解：令 y = (1+1/x)ˣ，取对数：ln y = x · ln(1+1/x)（0 · ∞ 型）。

${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}''x''''\cdot ''''''''ln''''(1+''\frac{''1''}{''x''}'')=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''ln''''(1+1/x)''}{''1/x''}$

0/0 型，洛必达：

$''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{\frac{{''-1/x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''1+1/x''}}{{''-1/x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''{''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; +</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''1''}{''1+1/x''}''=1''$

故原式 = e¹ = e。

分类明确，循序渐进

先基本型后转化型

每类配一典型例题

课堂测验

（10 min）

四、使用流程与常见错误（10 min）

【易错辨析】

例7（洛必达法则不适用的情况）

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\infty </ms>}}\frac{''x+''''sin''''x''}{''x''}$。

错误做法：洛必达得 (1+cos x)/1，极限不存在。

正确做法：先化简为 1 + sin x/x = 1 + 0 = 1。

教训：能化简先化简，不要盲目使用洛必达法则。

流程化思维

错误辨析防踩坑

第二节课

课堂练习与总结（15 min）

五、课堂练习（8 min）

1. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{''tan''''x-x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}$。

2. 求 。

3. 求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 0</ms>}}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}}{''sin''''x''}$。

参考答案：

1. 0/0 型，连续洛必达：$''lim''''''\frac{{''sec''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''x-1''}{{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''''lim''''''\frac{''2''{''sec''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''x''''\cdot ''''''''tan''''x''}{''6x''}''=''\frac{''1''}{''3''}$。

2. 0⁰ 型，取对数：ln y = x ln x → 0（由例4），故原式 = e⁰ = 1。

3. 0/0 型：$''lim''''''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}}{''cos''''x''}''=''\frac{''1+1''}{''1''}''=2''$。

三类典型练习

课堂测验

（10 min）

课堂测验（2 min）

求 ${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 1</ms>}}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''-1''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-1''}$。

答案：

0/0 型，${''lim''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x\; </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\backslash to</ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\; 1</ms>}}\frac{{''3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2x''}''=''\frac{''3''}{''2''}$。

快速检测

课堂小结

（5 min）

课堂小结

本课核心内容：

1. 七种未定式：0/0、∞/∞（基本型）+ 0·∞、∞−∞、1∞、0⁰、∞⁰（需转化）；

2. 洛必达法则：分子分母分别求导，可反复使用；

3. 转化技巧：写成分式（0·∞）、通分（∞−∞）、取对数（幂指型）；

4. 使用原则：先确认是未定式，能化简先化简，验证使用条件。

下节课预告：函数的单调性与极值——利用导数研究函数的增减性和极值。

四条要点总结

预告单调极值

教学反思

本课学生对洛必达法则的掌握总体较好，计算类题目正确率约80%。

教学效果分析：

1. 0/0 型和 ∞/∞ 型的直接应用学生掌握较好（正确率约85%）；

2. 未定式类型的判断偶有失误，个别学生对非不定式也用了洛必达；

3. 幂指函数型的转化（取对数）是难点，约60%的学生能独立完成；

4. “能化简先化简”的意识需要反复强调。

改进方向：

1. 增加“判断能否用洛必达”的辨析题；

2. 幂指型极限可多设计几道分步引导的练习；

3. 强调洛必达法则是充分条件，不是万能工具。