第一类换元积分法

教学项目

第一类换元积分法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前两次课中，学生已经系统学习了不定积分的概念、基本性质，掌握了15个基本积分公式，并能运用直接积分法（化简被积函数→拆分→逐项查公式→求导验证）求解形如多项式、简单三角函数、指数函数等的不定积分。

然而，实际问题中大量被积函数并不直接匹配基本公式。例如 ∫2xcos(x²)dx、∫e^x·sin(e^x)dx、∫cos(3x+1)dx 等，被积函数呈复合函数结构，无法直接查表积分。学生已有的直接积分法对此类问题无能为力，亟需掌握一种能处理复合函数积分的新方法。

从学生的学习基础来看：（1）对复合函数求导（链式法则）已经比较熟练；（2）基本积分公式的记忆尚可，但灵活运用能力仍需提升；（3）对"逆向思维"——从求导结果反推积分——已有初步经验。

根据教学计划，本课时为第5-6学时（累计6学时），下一课将继续学习更复杂的第一类换元积分法应用以及第二类换元积分法。

教学目标

${[F(g(x))]}^{′} {=F}^{′} (g(x)) ⋅ g^{′} (x)=f(g(x)) ⋅ g^{′} (x)$ $\int_{}^{} {f(g(x))g}^{′} (x)dx =F(g(x))+C$ ；

（2）掌握凑微分的核心操作：识别被积函数中的复合结构，找出内函数 u=g(x)，将 g'(x)dx 替换为 du；

（3）熟练掌握常见凑微分类型：线性替换 u=ax+b、幂函数 u=x²、三角函数 u=sinx/cosx、指数函数 u=e^x、对数函数 u=lnx 等；

（4）能够在凑微分过程中进行必要的系数调整（如提取或补充常数因子）。

（1）培养识别复合函数结构的能力——面对被积函数，能迅速判断其内外层函数；

（2）培养选择合适内函数 u 的判断力——掌握选 u 的基本策略和常见模式；

（3）提高积分计算的灵活性，从只能“查表直接积分”提升到能处理复合函数的积分。

（1）通过链式法则与换元积分法的对应关系，体会微积分体系中“正-逆”运算的对称美；

（2）通过多种凑微分类型的学习，培养分类思维和模式识别能力。

教学重点

教学难点

及应对

1. 选择合适的内函数 u——面对一个被积函数，学生可能不知道应该选什么作为 u。不同的选择可能导致积分变简单或变复杂，甚至无法继续计算。需要通过大量例题帮助学生建立选 u 的直觉和策略。

2. 系数调整——在凑微分过程中需要补充或提取常数因子，学生容易在这一步出错。例如忘记除以 a（线性替换 u=ax+b 时），或者将系数放错位置。

3. 回代遗忘——完成 ∫f(u)du 后忘记将 u 替换回 g(x)，导致结果中混有中间变量 u。

1. 按照凑微分类型分组讲解，每组先讲通用模式再练具体例题，帮助学生建立模式识别能力；

2. 在每道例题中明确标出系数调整的步骤，用颜色或下划线突出显示；反复强调回代步骤，将其列为解题的必要环节。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：凑微分法原理图、常见凑微分类型表、解题步骤流程图、复合函数积分示意图、例题解题流程图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

讲授法：系统讲解凑微分法的原理和常见类型

对比法：将链式求导法则与换元积分法对照展示，帮助学生理解逆运算关系

模式教学法：按凑微分类型（线性、幂函数、三角、指数、对数）分组讲解，建立模式识别

练习法：讲练结合，通过分级例题（基本→需系数调整→综合）逐步提升能力

教学反思

本节课系统讲授了第一类换元积分法（凑微分法），从链式法则的逆运算出发建立理论基础，然后按类型分组讲解常见凑微分模式。通过"原理讲解→基本类型→系数调整→进阶应用"的递进设计，学生对凑微分法的理解逐步深入。课堂练习反馈表明，线性替换和简单凑微分的掌握较好，但涉及系数调整和较复杂复合结构的题目仍需加强练习。下节课将继续学习更复杂的换元积分法应用。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

【教师】同学们，前两节课我们学习了不定积分的概念和15个基本积分公式，掌握了直接积分法。先来回顾一个重要的求导法则：

${[F(g(x))]}^{′} {=F}^{′} (g(x)) ⋅ g^{′} (x)$

【教师】例如：

$[sin {(x}^{2} {)]}^{′} = cos {(x}^{2}) ⋅ 2x=2x cos {(x}^{2})$

${[e}^{3x}]^{′} {=e}^{3x} ⋅ {3=3e}^{3x}$

$[sin {(x}^{2} {)]}^{′} =2x cos {(x}^{2})$ $\int_{}^{} 2x cos {(x}^{2})dx = sin {(x}^{2})+C$ ！

【教师】这就是“链式法则反过来用”的思想。但问题是：在实际计算中，我们不能每次都靠猜。我们需要一套系统的方法，把这种“反过来用”的过程标准化——这就是第一类换元积分法，也叫凑微分法。

$\int_{}^{} f(u)du =F(u)+C$

$\int_{}^{} {f(g(x))g}^{′} (x)dx =F(g(x))+C$

（1）被积函数必须可以写成 f(g(x))·g'(x) 的形式——即"外层函数作用于内函数“乘以”内函数的导数"；

$\int_{}^{} {f(g(x))g}^{′} (x)dx = \int_{}^{} f(u)du$ ；

（3）计算出 ∫f(u)du=F(u)+C 后，将 u=g(x) 代回，得到最终结果 F(g(x))+C。

$\int_{}^{} f(ax+b)dx = \frac{1}{a} \int_{}^{} f(u)du$

$dx= \frac{1}{a} du$ 。

$\int_{}^{} {f(x}^{n}) ⋅ x^{n-1} dx$

$\int_{}^{} f(sin x) cos xdx$

$\int_{}^{} f(cos x) sin xdx$

$\int_{}^{} {f(e}^{x} {)e}^{x} dx$

$\int_{}^{} f(ln x) ⋅ \frac{1}{x} dx$

$\int_{}^{} cos (3x+1)dx$

$\int_{}^{} cos (3x+1)dx = \frac{1}{3} \int_{}^{} cos udu = \frac{1}{3} sin u+C$

$= \frac{1}{3} sin (3x+1)+C$

$[\frac{1}{3} sin {(3x+1)+C]}^{′} = \frac{1}{3} cos (3x+1) ⋅ 3= cos (3x+1)$ ✓

$\int_{}^{} 2x sin {(x}^{2})dx$

$\int_{}^{} 2x sin {(x}^{2})dx = \int_{}^{} sin udu =- cos u+C$

$=- cos {(x}^{2})+C$

$[- cos {(x}^{2} {)+C]}^{′} = sin {(x}^{2}) ⋅ 2x=2x sin {(x}^{2})$ ✓

$\int_{}^{} e^{x} cos {(e}^{x})dx$

$\int_{}^{} e^{x} cos {(e}^{x})dx = \int_{}^{} cos udu = sin u+C$

$= sin {(e}^{x})+C$

$[sin {(e}^{x} {)+C]}^{′} = cos {(e}^{x}) ⋅ e^{x} {=e}^{x} cos {(e}^{x})$ ✓

$\int_{}^{} \frac{(ln {x)}^{2}}{x} dx$

$\int_{}^{} \frac{(ln {x)}^{2}}{x} dx = \int_{}^{} u^{2} du = \frac{u^{3}}{3} +C$

$= \frac{(ln {x)}^{3}}{3} +C$

$[\frac{(ln {x)}^{3}}{3} {+C]}^{′} = \frac{3(ln {x)}^{2}}{3} ⋅ \frac{1}{x} = \frac{(ln {x)}^{2}}{x}$ ✓

复习导入环节从链式法则出发，通过具体的求导例子引导学生“反过来想”，自然引出换元积分法的思想。这种从已知到未知的过渡方式符合学生的认知规律。

凑微分法原理部分给出形式化的定理陈述，并从三个层面帮助学生理解：公式含义、核心操作、通俗解释。配合原理图（fig01）直观展示变换过程。

基本凑微分类型按照"线性→幂函数→三角→指数→对数"的顺序讲解，由简到繁。每种类型都给出统一的模式，便于学生归纳记忆。

四道例题分别对应四种基本凑微分类型，且都是最简单的情形（被积函数中恰好包含内函数的导数），帮助学生先建立基本操作流程，再在下半节课处理需要系数调整的进阶情形。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做几道练习题，检验对凑微分法基本类型的掌握情况。

$\int_{}^{} sin (5x-2)dx$ 。

$\int_{}^{} sin (5x-2)dx = \frac{1}{5} \int_{}^{} sin udu = \frac{1}{5} (- cos u)+C=- \frac{1}{5} cos (5x-2)+C$

$[- \frac{1}{5} cos {(5x-2)+C]}^{′} = \frac{1}{5} sin (5x-2) ⋅ 5= sin (5x-2)$ ✓

$\int_{}^{} e^{2x+3} dx$ 。

$\int_{}^{} e^{2x+3} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} e^{u} du = \frac{1}{2} e^{u} +C= \frac{1}{2} e^{2x+3} +C$

$[\frac{1}{2} e^{2x+3} {+C]}^{′} = \frac{1}{2} e^{2x+3} ⋅ {2=e}^{2x+3}$ ✓

$\int_{}^{} {3x}^{2} e^{x^{3}} dx$ 。

$\int_{}^{} {3x}^{2} e^{x^{3}} dx = \int_{}^{} e^{u} du {=e}^{u} {+C=e}^{x^{3}} +C$

${[e}^{x^{3}} {+C]}^{′} {=e}^{x^{3}} ⋅ {3x}^{2} {=3x}^{2} e^{x^{3}}$ ✓

$\int_{}^{} cos {xe}^{sinx} dx$ 。

$\int_{}^{} cos {xe}^{sinx} dx = \int_{}^{} e^{u} du {=e}^{u} {+C=e}^{sinx} +C$

${[e}^{sinx} {+C]}^{′} {=e}^{sinx} ⋅ cos x= cos {xe}^{sinx}$ ✓

【教师】讲评要点：练习1和练习2都是线性替换类型，注意不要忘记除以内函数导数的系数；练习3是幂函数凑微分，3x²dx 恰好等于 du；练习4是三角函数与指数的组合，令 u=sinx 后变为基本指数积分。

四道练习分别覆盖线性替换（练习1、2）、幂函数凑微分（练习3）和三角函数凑微分（练习4）。都是被积函数中恰好包含 g'(x) 因子的基本情形，帮助学生巩固凑微分的基本操作。

每道题都配有求导验证步骤，持续培养学生的验证习惯。

第二节课

知识讲解

（30 min）

【教师】前面的例题中，被积函数恰好包含 g'(x)dx 的完整形式。但实际问题中，常常缺少一个常数因子，需要我们进行系数调整。

$\int_{}^{} x cos {(x}^{2})dx$ 。

$\int_{}^{} x cos {(x}^{2})dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} cos {(x}^{2}) ⋅ 2xdx = \frac{1}{2} \int_{}^{} cos udu$

$= \frac{1}{2} sin u+C= \frac{1}{2} sin {(x}^{2})+C$

$[\frac{1}{2} sin {(x}^{2} {)+C]}^{′} = \frac{1}{2} cos {(x}^{2}) ⋅ 2x=x cos {(x}^{2})$ ✓

$\int_{}^{} x^{2} e^{x^{3}} dx$ 。

$\int_{}^{} x^{2} e^{x^{3}} dx = \frac{1}{3} \int_{}^{} e^{x^{3}} ⋅ {3x}^{2} dx = \frac{1}{3} \int_{}^{} e^{u} du$

$= \frac{1}{3} e^{u} +C= \frac{1}{3} e^{x^{3}} +C$

$[\frac{1}{3} e^{x^{3}} {+C]}^{′} = \frac{1}{3} e^{x^{3}} ⋅ {3x}^{2} {=x}^{2} e^{x^{3}}$ ✓

$\int_{}^{} tan xdx$ 。

$\int_{}^{} tan xdx = \int_{}^{} \frac{sin x}{cos x} dx$

$= \int_{}^{} \frac{-du}{u} =- \int_{}^{} \frac{1}{u} du =- ln |u|+C=- ln | cos x|+C$

$[- ln | cos {x|+C]}^{′} =- \frac{1}{cos x} ⋅ (- sin x)= \frac{sin x}{cos x} = tan x$ ✓

$\int_{}^{} \frac{1}{{1+e}^{x}} dx$

$\frac{1}{{1+e}^{x}} = \frac{{(1+e}^{x} {)-e}^{x}}{{1+e}^{x}} =1- \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}}$

$\int_{}^{} \frac{1}{{1+e}^{x}} dx = \int_{}^{} 1dx- \int_{}^{} \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}} dx$

$=x- \int_{}^{} \frac{du}{u} =x- ln |u|+C=x- ln {(1+e}^{x})+C$

$[x- ln {(1+e}^{x} {)+C]}^{′} =1- \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}} = \frac{{1+e}^{x} {-e}^{x}}{{1+e}^{x}} = \frac{1}{{1+e}^{x}}$ ✓

$\int_{}^{} x cos {(x}^{2})dx = sin {(x}^{2})+C$ ✗

$\int_{}^{} x cos {(x}^{2})dx = \frac{1}{2} sin {(x}^{2})+C$ ✓

原因分析：令 u=x² 时 du=2xdx，被积式中只有 xdx=(1/2)du，必须补系数 1/2。

选 u 的基本原则：选取被积函数中复合结构的“内层”，并检查被积式中是否包含（或可以凑出）u 的导数因子。如果选了某个 u 但发现剩余部分不能表示为 du 的常数倍，则说明这个 u 选得不对，需要换一个。

$\int_{}^{} e^{x} cos {(e}^{x})dx = sin u+C$

$= sin {(e}^{x})+C$

$\int_{}^{} x sin xdx =x \int_{}^{} sin xdx$

只有常数因子才能提出积分号！含 x 的表达式绝不能这样做！∫xsinxdx 需要用分部积分法（后续课程）。

（1）看复合结构——被积函数中哪部分是“函数套函数”？里层的就是 u 的候选；

（2）看导数因子——选好 u 后检查：被积式中是否包含 u' 的常数倍？如果包含，就可以凑微分；

（3）线性优先——如果内函数是 ax+b 的线性形式，直接用线性替换公式，最快捷；

$x^{n}$ $x^{n-1} dx$

令 u=g(x)，du=g'(x)dx → 替换 → 计算 → 回代

∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x)) = F(g(x))+C

例5和例6展示了最常见的系数调整情形——被积函数中包含 g'(x) 的部分因子但缺少常数系数。通过明确标出“补系数”的步骤，帮助学生建立规范的操作流程。

例7（∫tanxdx）展示了一种重要的策略——将被积函数变形后再选 u。这里先将 tanx 写成 sinx/cosx，再令 u=cosx，是经典的三角函数凑微分技巧。

例8（∫1/(1+e^x)dx）展示了较高技巧性的恒等变形方法。通过将分子凑成与分母相关的形式，将积分拆分为直接可算的部分和可凑微分的部分。这类技巧需要一定的经验积累。

常见错误分析部分通过四种典型错误的正误对比，帮助学生防范常见陷阱。特别是“将含 x 的因子提出积分号”这一严重错误，需要反复强调。

技巧总结部分将“选 u”的策略系统化，帮助学生从零散的例题中提炼出通用的方法论。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合练习，巩固凑微分法的各种技巧。

$\int_{}^{} \frac{1}{{(2x+1)}^{3}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{1}{{(2x+1)}^{3}} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} u^{-3} du = \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{-2}}{-2} +C=- \frac{1}{{4(2x+1)}^{2}} +C$

$[- \frac{1}{{4(2x+1)}^{2}} {+C]}^{′} =- \frac{1}{4} ⋅ {(-2)(2x+1)}^{-3} ⋅ 2= \frac{1}{{(2x+1)}^{3}}$ ✓

$\int_{}^{} x \sqrt{{1-x}^{2}} dx$ 。

$\int_{}^{} x \sqrt{{1-x}^{2}} dx =- \frac{1}{2} \int_{}^{} \sqrt{u} du =- \frac{1}{2} ⋅ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} +C$

$=- \frac{1}{3} {(1-x}^{2})^{\frac{3}{2}} +C$

$[- \frac{1}{3} {(1-x}^{2})^{\frac{3}{2}} {+C]}^{′} =- \frac{1}{3} ⋅ \frac{3}{2} {(1-x}^{2})^{\frac{1}{2}} ⋅ (-2x)=x \sqrt{{1-x}^{2}}$ ✓

$\int_{}^{} \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}} dx = \int_{}^{} \frac{du}{u} = ln |u|+C= ln {(1+e}^{x})+C$

$[ln {(1+e}^{x} {)+C]}^{′} = \frac{e^{x}}{{1+e}^{x}}$ ✓

$\int_{}^{} \frac{sin x}{{cos}^{3} x} dx$ 。

$\int_{}^{} \frac{sin x}{{cos}^{3} x} dx =- \int_{}^{} \frac{du}{u^{3}} =- \int_{}^{} u^{-3} du =- \frac{u^{-2}}{-2} +C$

$= \frac{1}{{2u}^{2}} +C= \frac{1}{2 {cos}^{2} x} +C$

$[\frac{1}{2 {cos}^{2} x} {+C]}^{′} = \frac{1}{2} ⋅ (-2) {cos}^{-3} x ⋅ (- sin x)= \frac{sin x}{{cos}^{3} x}$ ✓

【教师】讲评要点：练习5是线性替换配合幂函数积分；练习6需要系数调整（补-2再除以-2），综合了幂函数凑微分和幂函数积分公式；练习7是经典的对数凑微分类型；练习8利用 u=cosx 将三角函数积分转化为幂函数积分。

四道综合练习分别覆盖：线性替换+幂函数（练习5）、幂函数凑微分+系数调整（练习6）、指数凑微分+对数积分（练习7）、三角凑微分+幂函数积分（练习8）。

练习6的 ∫x√(1-x²)dx 是一道综合性较强的题目，需要学生正确处理负号和分数系数，考查系数调整的准确性。

练习7和练习8分别展示了凑微分后得到对数函数和幂函数积分的情形，拓展了学生的计算视野。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课的核心内容：

$\int_{}^{} f(u)du =F(u)+C$

$\int_{}^{} {f(g(x))g}^{′} (x)dx =F(g(x))+C$

识别复合结构 → 选取内函数 u=g(x) → 凑出 du=g'(x)dx → 计算 ∫f(u)du → 回代 u=g(x)

u=ax+b → $\int_{}^{} f(ax+b)dx = \frac{1}{a} F(ax+b)+C$

（1）只有常数因子能进出积分号，含 x 的因子绝不可以；

（2）凑微分后的系数调整不能遗漏；

（3）计算完成后必须回代变量 u=g(x)；

（4）求导验证永远是最后的保障。

计算以下不定积分（要求写出凑微分过程和验证步骤）：

① $\int_{}^{} {(2x-3)}^{5} dx$ ② $\int_{}^{} x sin {(x}^{2})dx$ ③ $\int_{}^{} \frac{cos x}{{sin}^{2} x} dx$

④ $\int_{}^{} \frac{ln x}{x} dx$ ⑤ $\int_{}^{} \frac{e^{2x}}{{1+e}^{2x}} dx$ ⑥ $\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$

下节课将继续学习更复杂的换元积分法应用，包括三角函数的高次幂积分、需要多步凑微分的综合题型，以及第二类换元积分法的初步介绍。请同学们思考：如果被积函数中含有 √(a²-x²) 的形式，应该如何处理？

通过知识总结图系统梳理本节课的核心内容：原理、操作步骤、常见类型、注意事项。帮助学生形成完整的知识框架。

作业设计覆盖全部凑微分类型：线性替换（①⑥）、幂函数凑微分（②）、三角凑微分（③）、对数凑微分（④）、指数凑微分配合对数积分（⑤）。难度由基础到综合。

预习任务指向下节课的第二类换元积分法，通过 √(a²-x²) 形式的积分问题激发思考，帮助学生带着问题进入新课的学习。

教学反思

本节课系统讲授了第一类换元积分法（凑微分法），从链式法则的逆运算出发，逐步建立了凑微分的理论基础和操作方法。以下是具体分析：

（1）原理讲解：从链式法则出发引出换元积分法的思想，学生接受度较高。通过具体的求导→积分的对比，约85%的学生能理解凑微分法的原理。但部分学生对“凑微分”这个操作的直观理解还不够深入，需要在后续课程中通过更多练习来加强。

（2）基本类型讲解：按线性替换→幂函数→三角→指数→对数的顺序分组讲解效果较好。线性替换类型学生掌握最快（完成率约90%），幂函数和三角函数凑微分次之（约75%），对数凑微分的识别度稍低（约65%）。

（3）系数调整：这是本节课的一个难点。例5（∫xcos(x²)dx）中需要补系数1/2，约30%的学生在第一次练习时忘记了系数调整。但通过例题讲解和反复强调后，课堂练习的正确率提升到约80%。

（4）进阶例题：例7（∫tanxdx）和例8（∫1/(1+e^x)dx）展示了凑微分法的灵活应用。学生对例7的接受度较好（因为变形思路清晰），但例8的恒等变形技巧对学生来说比较新颖，独立完成率约为45%。这类技巧需要通过更多类似题型的训练来培养。

（5）常见错误分析：四种典型错误的正误对比教学效果明显。特别是“将含 x 的因子提出积分号”这一严重错误，通过强调后学生印象深刻。

（6）改进方向：①可以在讲解每种凑微分类型时，先让学生尝试自己选 u，再公布答案，增加互动性；②例8等技巧性较强的题目可以放到习题课中详细讲解，课堂上以基本类型为主；③下次课可以安排课前5分钟的凑微分小测，检验学生对基本类型的掌握情况。