隐函数求导公式

教学项目

隐函数求导公式——一元与二元隐函数的求导方法

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

经过前十二个课时的学习，学生已经掌握了多元函数的偏导数、全微分和链式法则。特别是上节课学习的链式法则为本节课隐函数求导提供了直接的理论工具。从课堂表现来看：（1）学生能够运用链式法则求复合函数的导数和偏导数；（2）学生掌握了树形图法画变量关系图的技巧；（3）对全导数与偏导数的区分有了较好的理解。

本节课将学习隐函数的求导公式。一元函数中学生已接触过隐函数求导（等式两端对 x 求导），本节课将给出系统的公式法，并推广到二元隐函数（三变量方程确定的隐函数）。

学生可能的困难在于：（1）公式的记忆——分子分母中偏导数的位置和负号容易混淆；（2）二元情形中偏导数与一元情形中全导数的区分；（3）方程组确定的隐函数求导方法。

根据教学计划，本课时为第25-26学时。

教学目标

知识目标：

（1）掌握一元隐函数的求导公式 $\frac{dy}{dx} =- \frac{F_{x}}{F_{y}}$ ；

（2）掌握二元隐函数的求偏导公式 $\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{F_{x}}{F_{z}}$ ， $\frac{∂ z}{∂ y} =- \frac{F_{y}}{F_{z}}$ ；

（3）理解公式的推导过程（利用链式法则）；

（4）能够灵活选择公式法或直接求导法求隐函数的导数。

能力目标：

（1）培养灵活选择求导方法的能力——根据函数特点选择公式法或直接法；

（2）培养处理方程组确定的隐函数的求导能力；

（3）培养将隐函数求导与链式法则联系起来的数学综合能力。

素质目标：

（1）通过公式推导，培养从特殊到一般的数学归纳思维；

（2）通过方法对比，培养灵活运用数学工具的意识。

教学重点

1. 一元隐函数求导公式 F(x,y)=0 确定 y=y(x) 时，dy/dx = -Fx/Fy。这是最基本的隐函数求导公式，也是后续二元情形的基础。

2. 二元隐函数求偏导公式 F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y) 时，偏导数公式的结构与一元情形类似，分母是对因变量的偏导，分子是对自变量的偏导，前面加负号。

3. 公式法与直接求导法的比较两种方法各有优势：公式法简洁快速，直接求导法灵活且适用于高阶导数。

教学难点

及应对

难点：

1. 公式中偏导数的正确计算——F(x,y) 对 x 求偏导时 y 视为常数，对 y 求偏导时 x 视为常数。学生容易在这一步出错；

2. 方程组确定的隐函数——需要分别对方程求导并联立方程组，计算量较大；

3. 隐函数的二阶导数——直接法求二阶导时，需要再次利用一阶导的结果。

应对策略：

1. 通过多个例题反复练习公式法，强化公式的记忆和应用；

2. 方程组情形先给出简单的例子，再过渡到一般情形；

3. 二阶导数作为拓展内容，只做简要介绍。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：隐函数概念图、一元求导公式图、二元求导公式图、方程组情形图、方法对比图、知识总结图

课堂练习题（配套习题）

教学方法

类比法：从一元隐函数到二元隐函数的类比推广

讲授法：系统讲解隐函数求导公式及其推导

比较法：对比公式法与直接求导法的优缺点

练习法：每讲完一个公式立即进行例题训练

教学反思

本节课系统讲解了隐函数的求导公式。从课堂表现来看，公式法因其简洁性受到学生欢迎，约85%的学生能够正确运用公式计算一元隐函数的导数。二元情形的推广自然流畅，学生接受度良好。方程组情形因计算量较大，部分学生需要更多练习。下节课将学习多元函数的极值问题。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、隐函数概念回顾（5分钟）

【教师】同学们，在一元微积分中我们已经遇到过隐函数。例如方程 F(x,y)=0 可能确定了 y 作为 x 的函数，但 y 没有被显式地表示出来。

问题：如何求这样的隐函数的导数 dy/dx？

上学期我们用的方法是：等式两端对 x 求导，把 y 看作 x 的函数。今天我们将给出更系统的公式法。

二、一元隐函数求导公式（15分钟）

公式推导设 F(x,y)=0 确定了 y=y(x)，则 F(x,y(x)) 恒等于 0。

两端对 x 求导（链式法则）：

$\frac{∂ F}{∂ x} ⋅ 1+ \frac{∂ F}{∂ y} ⋅ \frac{dy}{dx} =0$

解出：

$\frac{dy}{dx} =- \frac{F_{x}}{F_{y}}$

（前提： $F_{y} ≠ 0$ ）

例1 设 $x^{2} {+y}^{2} -1=0$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 。

解令 F(x,y)=x²+y²-1。

$F_{x} =2x, \quad F_{y} =2y$

$\frac{dy}{dx} =- \frac{F_{x}}{F_{y}} =- \frac{2x}{2y} =- \frac{x}{y}$

（y≠0时成立）

例2 设 $e^{y} +xy-e=0$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 在 (1,1) 处的值。

解令 F(x,y)=e^y+xy-e。

$F_{x} =y, \quad F_{y} {=e}^{y} +x$

$\frac{dy}{dx} =- \frac{y}{e^{y} +x}$

在 (1,1) 处： $\frac{dy}{dx} \bigg |_{(1,1)} =- \frac{1}{e+1}$

三、二元隐函数求偏导公式（15分钟）

推广设 F(x,y,z)=0 确定了 z=z(x,y)，类似地推导：

对 x 求偏导（y 看作常数）：

$F_{x} {+F}_{z} ⋅ \frac{∂ z}{∂ x} =0$

解出：

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{∂ z}{∂ y} =- \frac{F_{y}}{F_{z}}$

例3 设 $x^{2} {+y}^{2} {+z}^{2} -4=0$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 和 $\frac{∂ z}{∂ y}$ 。

解 F(x,y,z)=x²+y²+z²-4。

$F_{x} =2x, \quad F_{y} =2y, \quad F_{z} =2z$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{2x}{2z} =- \frac{x}{z}, \quad \frac{∂ z}{∂ y} =- \frac{2y}{2z} =- \frac{y}{z}$

例4 设 $e^{z} +xyz-1=0$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解 F=e^z+xyz-1。

$F_{x} =yz, \quad F_{z} {=e}^{z} +xy$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{yz}{e^{z} +xy}$

回顾隐函数概念，引出求导问题。

利用链式法则推导一元隐函数求导公式，例1、例2训练基本计算。

类比推广到二元隐函数，例3、例4训练偏导公式的应用。

课堂测验

（10 min）

【教师】做两道练习巩固公式法。

练习1：设 $\ln \sqrt{x^{2} {+y}^{2}} + \arctan \frac{y}{x} =0$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 。

解令 $F= \ln \sqrt{x^{2} {+y}^{2}} + \arctan \frac{y}{x}$ 。

$F_{x} = \frac{x}{x^{2} {+y}^{2}} + \frac{1}{{1+(y/x)}^{2}} ⋅ (- \frac{y}{x^{2}})= \frac{x}{x^{2} {+y}^{2}} - \frac{y}{x^{2} {+y}^{2}} = \frac{x-y}{x^{2} {+y}^{2}}$

$F_{y} = \frac{y}{x^{2} {+y}^{2}} + \frac{1}{x} ⋅ \frac{1}{{1+(y/x)}^{2}} = \frac{y}{x^{2} {+y}^{2}} + \frac{x}{x^{2} {+y}^{2}} = \frac{x+y}{x^{2} {+y}^{2}}$

$\frac{dy}{dx} =- \frac{F_{x}}{F_{y}} =- \frac{x-y}{x+y} = \frac{y-x}{x+y}$

练习2：设 $x^{2} {+2y}^{2} {+3z}^{2} -6=0$ ，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 和 $\frac{∂ z}{∂ y}$ 。

解

$F_{x} =2x, \quad F_{y} =4y, \quad F_{z} =6z$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{2x}{6z} =- \frac{x}{3z}, \quad \frac{∂ z}{∂ y} =- \frac{4y}{6z} =- \frac{2y}{3z}$

练习1训练较复杂的一元隐函数求导，涉及对数和反三角函数。

练习2训练二元隐函数求偏导，巩固公式的应用。

第二节课

知识讲解与拓展（30 min）

四、直接求导法与方法对比（15分钟）

直接求导法将方程 F(x,y)=0 两端对 x 求导，其中 y 视为 x 的函数：

例5 设 $y^{3} -3y+x=0$ ，用两种方法求 $\frac{dy}{dx}$ 。

方法一（公式法）：

$F_{x} =1, \quad F_{y} {=3y}^{2} -3$

$\frac{dy}{dx} =- \frac{1}{{3y}^{2} -3} = \frac{1}{{3-3y}^{2}}$

方法二（直接法）：

方程两端对 x 求导：

${3y}^{2} ⋅ \frac{dy}{dx} -3 \frac{dy}{dx} +1=0$

${(3y}^{2} -3) \frac{dy}{dx} =-1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{{3-3y}^{2}}$

两种方法结果一致。

五、方程组确定的隐函数（拓展，15分钟）

例6 设方程组

xu + yv = 1

xu - yv = -1

确定了 u=u(x,y)、v=v(x,y)，求 $\frac{∂ u}{∂ x}$ 和 $\frac{∂ v}{∂ x}$ 。

解两个方程分别对 x 求偏导（y 视为常数）：

$u+x \frac{∂ u}{∂ x} +y \frac{∂ v}{∂ x} =0 \quad ...(1)$

$u+x \frac{∂ u}{∂ x} -y \frac{∂ v}{∂ x} =0 \quad ...(2)$

由 (1)-(2) 得：

$2y \frac{∂ v}{∂ x} =0$

若 y≠0，则 $\frac{∂ v}{∂ x} =0$

代入 (1) 得：

$\frac{∂ u}{∂ x} =- \frac{u}{x}$

对比公式法与直接法，例5用同一题演示两种方法的等价性。

介绍方程组确定的隐函数求导方法——分别求导、联立方程组。

例6展示方程组情形的完整求解过程。

课堂测验

（10 min）

【教师】做两道综合练习。

练习3：设 $x^{2} {+y}^{2} {+z}^{2} -xz=0$ ，求 $\frac{∂^{2} z}{∂ x^{2}}$ （用直接法）。

解方程对 x 求偏导：

$2x+2z \frac{∂ z}{∂ x} -z-x \frac{∂ z}{∂ x} =0$

$\frac{∂ z}{∂ x} = \frac{z-2x}{2z-x}$

再对 x 求偏导即可得二阶偏导数（计算较繁，课后练习完成）。

练习4：设 ${z=e}^{xy} +y \sin z$ 确定了 z=z(x,y)，求 $\frac{∂ z}{∂ x}$ 。

解移项得 F = e^{xy} + y sin z - z = 0。

$F_{x} {=ye}^{xy}, \quad F_{z} =y \cos z-1$

$\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{{ye}^{xy}}{y \cos z-1} = \frac{{ye}^{xy}}{1-y \cos z}$

【教师】讲评：练习3展示了如何用直接法求二阶偏导数的思路；练习4需要先将方程整理为 F=0 的形式。

练习3训练用直接法求一阶偏导数，引出二阶导数的思路。

练习4训练将方程整理为 F=0 形式后运用公式法。

课堂小结

（5 min）

【教师】总结本节课核心要点：

一、隐函数求导公式：

一元 $\frac{dy}{dx} =- \frac{F_{x}}{F_{y}}$ 二元 $\frac{∂ z}{∂ x} =- \frac{F_{x}}{F_{z}}$

二、两种方法：

公式法：直接代入公式，快速简洁；

直接法：方程两端对 x 求导，灵活，适用于高阶导数。

三、作业布置：

（1）一元隐函数求导（公式法和直接法各2题）；

（2）二元隐函数求偏导（3题）；

（3）选做：方程组确定的隐函数。

四、预习：

下节课学习多元函数的极值及其求法。

系统总结两种隐函数求导公式和两种方法。

布置分层作业，方程组作为选做拓展。

预习下节课极值内容。

教学反思

本节课系统讲解了隐函数的求导公式，教学效果分析如下：

（1）公式法的教学效果良好。公式结构简洁（负号+偏导之比），约85%的学生能够正确运用。主要错误集中在：忘记负号（约10%）、分子分母搞反（约5%）。

（2）例1和例2的计算过程清晰，学生完成度约90%。例2涉及指数函数的偏导数，难度适中。

（3）二元隐函数求偏导的推广自然流畅。学生通过类比一元情形较容易理解二元公式，完成度约80%。

（4）直接法与公式法的对比（例5）帮助学生看到两种方法的等价性，增强了对公式正确性的信心。

（5）方程组情形作为拓展内容，约50%的学生能够理解基本思路。完整的计算过程需要较强的代数能力，建议在习题课中进一步强化。

（6）整体反思：本节课内容安排合理，从简单到复杂的递进有效降低了学习难度。公式法作为核心工具，学生掌握良好。