第十三章 概率论与数理统计

基本概念

样本空间 $\Omega$：所有可能结果的集合。事件：$\Omega$ 的子集。

互斥：$A\cap B=\varnothing$（不能同时发）；对立：互斥且 $A\cup B=\Omega$

概率公式 必背

$0\leq P(A)\leq 1$，$P(\bar{A})=1-P(A)$

加法：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

互斥时：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

古典概型 高频

满足"有限+等可能"：$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{\text{事件包含样本点数}}{\text{总样本点数}}$

例 1 · 古典概型

袋中5白3红，任取3球，求恰1红的概率

$P=\frac{C_3^1 C_5^2}{C_8^3}=\frac{3\times 10}{56}=\frac{15}{28}$

例 2 · 加法公式

$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，$P(AB)=0.1$

$P(A\cup B)=0.3+0.5-0.1=0.7$

例 3 · 对立事件（"至少"问题）

$P(\text{至少1个})=1-P(\text{一个都没有})$

20件中4件不合格，取3件，至少1件不合格：

$P=1-\frac{C_{16}^3}{C_{20}^3}=1-\frac{560}{1140}=\frac{29}{57}$

例 4 · 独立事件

甲乙独立射击，命中率0.8、0.7

都命中：$0.8\times 0.7=0.56$

至少一人：$1-(1-0.8)(1-0.7)=1-0.06=0.94$

恰一人：$0.8\times 0.3+0.2\times 0.7=0.38$

条件概率与乘法公式

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$

全概率公式（由因求果）必考

$B_1,\dots,B_n$ 两两互斥且 $\bigcup B_i=\Omega$：

$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

贝叶斯公式（由果溯因）必考

$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$

分母就是全概率公式！

例 5 · 全概率+贝叶斯（三流水线）

甲乙丙产量占25%、35%、40%，不合格率5%、4%、2%

(1) 全概率：$P(\text{不合格})$

$=0.25\times 0.05+0.35\times 0.04+0.40\times 0.02$

$=0.0125+0.014+0.008=0.0345$

(2) 贝叶斯：已知不合格，求来自甲

$P(\text{甲}|\text{不合格})=\frac{0.25\times 0.05}{0.0345}=\frac{0.0125}{0.0345}\approx 0.362$

独立性判定 易混

独立 $\neq$ 互斥！

独立：$P(AB)=P(A)P(B)$（概率相乘）

互斥：$P(AB)=0$（不能同时发生）

伯努利试验与二项分布

$n$ 次独立重复试验，每次成功率 $p$，成功 $k$ 次：

$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$，$X\sim B(n,p)$

例 6 · 二项分布

命中率0.8，射5次，求恰中3次

$X\sim B(5,0.8)$，$P(X=3)=C_5^3(0.8)^3(0.2)^2$

$=10\times 0.512\times 0.04=0.2048$

例 7 · 泊松近似

次品率2%，取100件，$\lambda=np=2$

$P(X\leq 3)=\sum_{k=0}^{3}\frac{2^k e^{-2}}{k!}\approx 0.857$

常见分布速查表 必背

分布	记号	$E(X)$	$D(X)$
0-1分布	—	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布	$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

正态分布 核心

标准化：$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，令 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

$P(X\leq a)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

对称性：$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$

$3\sigma$ 法则

$P(|X-\mu|<\sigma)\approx 68\%$

$P(|X-\mu|<2\sigma)\approx 95\%$

$P(|X-\mu|<3\sigma)\approx 99.7\%$

例 8 · 正态计算

$X\sim N(3,4)$（$\mu=3,\sigma=2$），求 $P(2

$=\Phi(\frac{5-3}{2})-\Phi(\frac{2-3}{2})=\Phi(1)-\Phi(-0.5)$

$=\Phi(1)-(1-\Phi(0.5))=0.8413-1+0.6915=0.5328$

例 9 · 正态应用

成绩 $X\sim N(70,100)$（$\sigma=10$），求90分以上优秀率

$P(X>90)=1-\Phi(\frac{90-70}{10})=1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228$

例 10 · 均匀分布

$X\sim U(2,8)$，$P(3

例 11 · 指数分布

寿命 $X\sim E(0.0005)$，求 $P(X>2000)$

$=e^{-0.0005\times 2000}=e^{-1}\approx 0.368$

期望与方差的运算性质 必背

$E(aX+b)=aE(X)+b$

$D(aX+b)=a^2 D(X)$

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

性质	结论
平移	$D(X+b)=D(X)$（加常数不变）
伸缩	$D(aX)=a^2 D(X)$（系数要平方！）
独立可加	$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

例 12 · 分布律求期望方差

$P(X=-1)=0.25$，$P(X=0)=0.5$，$P(X=2)=0.25$

$E(X)=(-1)(0.25)+0+2(0.25)=0.25$

$E(X^2)=1(0.25)+0+4(0.25)=1.25$

$D(X)=1.25-0.0625=1.1875$

例 13 · 线性变换

$X\sim B(10,0.3)$，$E(X)=3$，$D(X)=2.1$

$E(2X-1)=2\times 3-1=5$

$D(2X-1)=4\times 2.1=8.4$

例 14 · 独立变量组合

$X\sim B(10,0.3)$，$Y\sim P(2)$，$X,Y$ 独立

$E(2X-3Y+5)=2(3)-3(2)+5=5$

$D(2X-3Y+5)=4(2.1)+9(2)=26.4$

例 15 · 连续型期望

$f(x)=3x^2$（$0

$E(X)=\int_0^1 3x^3\mathrm{d}x=\frac{3}{4}$

$E(X^2)=\int_0^1 3x^4\mathrm{d}x=\frac{3}{5}$

$D(X)=\frac{3}{5}-\frac{9}{16}=\frac{3}{80}$

切比雪夫不等式

$P(|X-\mu|\geq\varepsilon)\leq\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

不要求知道分布，只用期望和方差做概率估计。

样本统计量

样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$

样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$（分母 $n-1$）

点估计：$\bar{X}$ 估 $\mu$，$S^2$ 估 $\sigma^2$

区间估计（$\mu$ 的置信区间）必考

条件	统计量	置信区间
$\sigma$ 已知	$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$	$\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\sigma$ 未知	$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$	$\bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n\!-\!1)\frac{S}{\sqrt{n}}$

常用分位数

$1-\alpha$	$z_{\alpha/2}$
0.90	1.645
0.95	1.960
0.99	2.576

例 16 · 区间估计（$\sigma$ 已知）

$\sigma=100$，$n=10$，$\bar{x}=1320$，求95%置信区间

$1320\pm 1.96\times\frac{100}{\sqrt{10}}=1320\pm 62.0$

$\mu\in(1258.0,\;1382.0)$

假设检验五步法 必考

① 提出 $H_0$（原假设）和 $H_1$（备择假设）

② 选检验统计量（$Z$ 或 $T$）

③ 给定显著性水平 $\alpha$，查临界值

④ 计算统计量观测值

⑤ 判决：落入拒绝域 → 拒绝 $H_0$

例 17 · 双边检验（$\sigma$ 已知）

$\sigma^2=0.04$，$n=25$，$\bar{x}=10.08$，$H_0:\mu=10$，$\alpha=0.05$

$z=\frac{10.08-10}{0.2/\sqrt{25}}=\frac{0.08}{0.04}=2$

$|z|=2>1.96$ → 拒绝 $H_0$，不合规

例 18 · 单边检验

$\sigma=100$，$n=25$，$\bar{x}=1480$，$H_0:\mu\geq 1500$，$\alpha=0.05$

$z=\frac{1480-1500}{100/\sqrt{25}}=\frac{-20}{20}=-1$

拒绝域 $z<-1.645$，$-1>-1.645$ → 不拒绝 $H_0$，合格

例 19 · $\sigma$ 未知用 $T$

$n=36$，$\bar{x}=980$，$S=50$，$H_0:\mu\geq 1000$，$\alpha=0.05$

$t=\frac{980-1000}{50/\sqrt{36}}=-2.4$

$t_{0.05}(35)\approx 1.69$，$-2.4<-1.69$ → 拒绝 $H_0$，未达标

核心公式速查

公式	内容
古典概型	$P=m/n$
加法	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
乘法	$P(AB)=P(A)P(B|A)$
全概率	$P(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)$
贝叶斯	分子：先验×似然，分母：全概率
标准化	$Z=(X-\mu)/\sigma$
期望/方差	$E(aX+b)=aEX+b$，$D(aX+b)=a^2 DX$

解题策略

"至少"问题：$P=1-P(\text{一个都没})$

全概率 vs 贝叶斯：由因求果→全概率，由果溯因→贝叶斯

区间估计：$\sigma$ 已知用 $Z$，未知用 $T$

七大高频踩坑点

① 独立写成互斥——独立 $P(AB)=P(A)P(B)$，互斥 $P(AB)=0$。

② 加法公式忘减交集——$P(A\cup B)\neq P(A)+P(B)$（除非互斥）。

③ 贝叶斯漏分母——分母必须是全概率和。

④ 方差提系数不平方——$D(aX)=a^2 D(X)$，不是 $aD(X)$。

⑤ 样本方差分母写 $n$——无偏估计用 $n-1$。

⑥ 正态对称性用错——$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。

⑦ 指数分布期望记反——$E(\lambda)$ 的期望是 $1/\lambda$，不是 $\lambda$。