第十二章 多元函数的积分学

二重积分的定义

$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$

分割 → 近似 → 求和 → 取极限。若 $f\geq 0$，积分值 $=$ 曲顶柱体体积。

基本性质

线性：$\iint(\alpha f\pm\beta g)\mathrm{d}\sigma=\alpha\iint f\mathrm{d}\sigma\pm\beta\iint g\mathrm{d}\sigma$

区域可加：$D=D_1\cup D_2$ → 积分可拆

保号性：$f\leq g$ → $\iint f\leq\iint g$

面积：$f\equiv 1$ 时，$\iint_D 1\,\mathrm{d}\sigma=$ 区域 $D$ 的面积

对称性化简 技巧

若 $D$ 关于 $y$ 轴对称：

$f(-x,y)=-f(x,y)$（$x$ 的奇函数）→ 积分 $=0$

$f(-x,y)=f(x,y)$（$x$ 的偶函数）→ 积分 $=2\iint_{D_{\text{右}}}$

口诀："偶倍奇零"——偶函数翻倍半区域，奇函数直接为零。

累次积分核心思想

将二重积分化为两次单积分（先积一个变量，再积另一个）

好比切蛋糕：先横切成薄片算面积，再把所有薄片加起来得体积。

定限口诀 必背

"后积先定限（常数），先积用上下（函数）"

外层积分：积分限是常数（固定范围）

内层积分：积分限是函数（上下边界）

X型区域（竖直穿过）高频

用平行 $y$ 轴的射线穿过区域，交点最多两个：

$a\leq x\leq b$，$\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$

$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y$

Y型区域（水平穿过）

用平行 $x$ 轴的射线穿过区域，交点最多两个：

$c\leq y\leq d$，$\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)$

$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm{d}x$

计算四步法

① 画出区域 $D$ 的图形

② 判断 X型 / Y型

③ 用不等式组表示区域，化为累次积分

④ 逐层计算

例 1 · X型区域 必考

$\iint_D xy\,\mathrm{d}\sigma$，$D$ 由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成

① 交点：$x=x^2$，$x=0,1$；$(0,0),(1,1)$

② X型：$0\leq x\leq 1$，$x^2\leq y\leq x$

③ $\int_0^1\mathrm{d}x\int_{x^2}^{x}xy\,\mathrm{d}y=\int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{x}\mathrm{d}x$

$=\int_0^1\frac{x}{2}(x^2-x^4)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_0^1(x^3-x^5)\mathrm{d}x$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{24}$

例 2 · Y型区域

$\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma$，$D$：$0\leq y\leq 1$，$y\leq x\leq 1$

Y型：$0\leq y\leq 1$，$y\leq x\leq 1$

$\int_0^1\mathrm{d}y\int_y^1 x\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{1-y^2}{2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$

例 3 · 需分割区域

区域既非纯X型也非纯Y型时，用辅助线分割成多个简单区域，分别积分再求和。

为什么要交换次序？

有时原积分顺序下内层积不出来（如 $\int e^{y^2}\mathrm{d}y$），但换序后就能计算。

交换次序三步法 必考

Step 1 还原区域：由原积分限写不等式组，画图！

Step 2 重新表示：X型 ↔ Y型互换，求反函数确定新边界

Step 3 写新积分：新常数限给外层，新函数限给内层

例 4 · 基础换序

$\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y$

① 还原：X型 $0\leq x\leq 1$，$x\leq y\leq 1$

② 换为Y型：$0\leq y\leq 1$，$0\leq x\leq y$

③ 新积分：$\int_0^1\mathrm{d}y\int_0^y f(x,y)\,\mathrm{d}x$

例 5 · 换序后可计算 经典

$\int_0^1\mathrm{d}y\int_y^1 e^{x^2}\mathrm{d}x$

（$\int e^{x^2}\mathrm{d}x$ 无初等原函数，必须换序！）

① 还原：Y型 $0\leq y\leq 1$，$y\leq x\leq 1$ → 三角形

② 换X型：$0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq x$

③ $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^x e^{x^2}\mathrm{d}y=\int_0^1 xe^{x^2}\mathrm{d}x$

$=\frac{1}{2}e^{x^2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$

例 6 · 分段拼接换序

$\int_0^1\mathrm{d}y\int_0^{2y}f\,\mathrm{d}x+\int_1^2\mathrm{d}y\int_0^{2}f\,\mathrm{d}x$

① 还原两段：

$D_1$：$0\leq y\leq 1$，$0\leq x\leq 2y$

$D_2$：$1\leq y\leq 2$，$0\leq x\leq 2$

② 合并后换X型：$0\leq x\leq 2$，$\frac{x}{2}\leq y\leq 2$

③ $=\int_0^2\mathrm{d}x\int_{x/2}^{2}f(x,y)\,\mathrm{d}y$

换序要点总结

核心原则：必须画图！不画图直接换序 → 错误率极高。

多段拼接 → 先画图合并为整体再换序。

常见需换序的函数

积不出的函数	换序后的处理
$e^{x^2}$, $e^{y^2}$	换序后凑 $xe^{x^2}$ 可积
$\frac{\sin x}{x}$, $\frac{\sin y}{y}$	换序后消去分母
$\sqrt{x^2+y^2}$ 类	考虑极坐标

期末题型速查表

题型	特征识别	策略
直接计算	简单边界曲线	判X/Y型→定限→逐层算
分割区域	非纯X/Y型	辅助线分割→分别求和
交换次序	内层积不出	画图→X↔Y→重写
对称化简	区域对称+奇偶	偶倍奇零

选择积分顺序原则

① 优先选使积分限更简单的顺序

② 优先选使被积函数更易积分的顺序

③ 两种都可行时，选计算量较小的

必记公式

X型：$\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f\,\mathrm{d}y$（先$y$后$x$）

Y型：$\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f\,\mathrm{d}x$（先$x$后$y$）

六大高频踩坑点

① 不画图就定限——二重积分必须画图确定区域，这是不可逾越的准则。

② X型Y型搞混——X型竖直穿过先积$y$，Y型水平穿过先积$x$。

③ 上下限写反——内层积分：上限 $>$ 下限（大函数在上）。

④ 换序不画图——必须先画区域再重新表示，不能直接交换积分号。

⑤ 分段拼接忘合并——多段积分换序前，先画图把区域拼成整体。

⑥ 忘记区域分割——非纯X/Y型区域必须分割，否则积分限会出错。

解题万能流程

画图 → 判型 → 写不等式 → 化累次 → 逐层算

积不出？→ 换序（画图 → X↔Y → 重写）

有对称？→ 检查奇偶 → 偶倍奇零