含有未知函数及其导数或微分的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数时称为常微分方程。
阶：方程中未知函数导数的最高阶数。
如 $y''+3y'-y=0$ 是二阶方程；$y'+2y=x$ 是一阶方程。
通解：含有与阶数相等个数的独立任意常数 $C$ 的解。
特解：由初始条件确定常数后的解（不含 $C$）。
初始条件：一阶给 $y(x_0)=y_0$；二阶再加 $y'(x_0)=y_0'$。
某曲线过点 $(1,1)$，且任意点处切线斜率为 $2x$，求曲线方程。
建模：$y'=2x$，积分得通解 $y=x^2+C$
代入 $y(1)=1$：$1=1+C$，$C=0$，特解 $y=x^2$
一阶：$F(x,y,y')=0$ 或显式 $y'=f(x,y)$
二阶：$F(x,y,y',y'')=0$，通解含 2 个任意常数
把求出的 $y$ 代回原方程左边，化简后若左=右则正确。
验证例：$y=e^{2x}$ 是否满足 $y'-2y=0$？
$y'=2e^{2x}$，$y'-2y=2e^{2x}-2e^{2x}=0$ ✓
① 先求通解（带 $C$ 的一般表达式）
② 把初始条件 $y(x_0)=y_0$ 代入通解
③ 解出 $C$ 的值
④ 将 $C$ 写回通解，得到特解（不再写 $+C$）
形如 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)\cdot g(y)$ 的方程，右端可拆为"$x$ 的函数 $\times$ $y$ 的函数"。
第一步 分离变量：$\dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x$
第二步 两边积分：$\int\dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x$
第三步 整理结果：解出 $y$（显式）或保留隐式解
口诀："左 $y$ 右 $x$ 分两边，两边积分就搞定"
求 $y'=2xy$ 的通解
分离：$\frac{\mathrm{d}y}{y}=2x\,\mathrm{d}x$，两边积分：
$\ln|y|=x^2+C_1$，故 $y=Ce^{x^2}$（$C=\pm e^{C_1}$）
求 $y'=\frac{y}{x}$，$y(1)=2$ 的特解
$\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，积分：$\ln|y|=\ln|x|+C_1$
通解 $y=Cx$，代入 $y(1)=2$：$C=2$，特解 $y=2x$
求 $y'=ky$（$k$ 为常数），$y(0)=y_0$ 的特解
$\frac{\mathrm{d}y}{y}=k\,\mathrm{d}x$，积分 $\ln|y|=kx+C_1$
通解 $y=Ce^{kx}$，代入得 $C=y_0$，特解 $y=y_0 e^{kx}$
指数增长/衰减模型是物理、生物中最常见的微分方程。
求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+y}{x}$，$y(1)=0$ 的特解
$\frac{\mathrm{d}y}{1+y}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，积分：$\ln|1+y|=\ln|x|+C_1$
通解 $1+y=Cx$，代入 $y(1)=0$：$C=1$，特解 $y=x-1$
求 $y'\sin x=y\ln y$
$\frac{\mathrm{d}y}{y\ln y}=\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}=\csc x\,\mathrm{d}x$
左边令 $u=\ln y$：$\int\frac{\mathrm{d}u}{u}=\ln|\ln y|$
右边：$\int\csc x\,\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|$
$\ln|\ln y|=\ln|\csc x-\cot x|+C_1$
求 $y'=\frac{x}{y}$ 的通解
$y\,\mathrm{d}y=x\,\mathrm{d}x$，积分：$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1$
整理：$y^2-x^2=C$（隐式通解，为等轴双曲线族）
形如 $y'=\varphi(\frac{y}{x})$ 的方程，令 $u=\frac{y}{x}$，$y=ux$：
$y'=u+xu'$，代入得 $u+xu'=\varphi(u)$，即 $xu'=\varphi(u)-u$
化为可分离变量方程：$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$
注意：解完后必须将 $u$ 换回 $y/x$。
求 $y'=\frac{y}{x}+1$，令 $u=y/x$，$y'=u+xu'$
$u+xu'=u+1$，$xu'=1$，$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$
$u=\ln|x|+C$，回代 $\frac{y}{x}=\ln|x|+C$，$y=x\ln|x|+Cx$
$y'+P(x)y=Q(x)$
$Q(x)\equiv 0$：齐次（可分离变量直接解）
$Q(x)\not\equiv 0$：非齐次（用通解公式）
致命预警：$y'$ 前系数必须化为 $1$！
如 $(1+x^2)y'+xy=1$ 先除以 $(1+x^2)$：$y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}$
$y'+P(x)y=0$ 的通解（变量分离即得）：
$y=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
$y=e^{-\int P\mathrm{d}x}\!\left[\int Q(x)e^{\int P\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right]$
记忆口诀：先算 $e^{\int P\mathrm{d}x}$（积分因子），再用"乘进去积出来"。
① 化标准形式，识别 $P(x)$ 和 $Q(x)$
② 计算 $\int P(x)\mathrm{d}x$（不加 $C$）
③ 代入万能公式，整理结果
求 $y'-\frac{2}{x}y=x^2$ 的通解
$P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^2$
$\int P\mathrm{d}x=-2\ln|x|=\ln x^{-2}$，$e^{\int P\mathrm{d}x}=x^{-2}$
$y=x^2\!\left[\int x^2\cdot x^{-2}\mathrm{d}x+C\right]=x^2(x+C)=x^3+Cx^2$
求 $y'+y=e^{-x}$，$y(0)=1$ 的特解
$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$，$\int P\mathrm{d}x=x$
$y=e^{-x}\!\left[\int e^{-x}\cdot e^x\mathrm{d}x+C\right]=e^{-x}(x+C)$
代入 $y(0)=1$：$1=e^0(0+C)$，$C=1$
特解 $y=(x+1)e^{-x}$
求 $xy'+y=x^2$ 的通解
除以 $x$：$y'+\frac{1}{x}y=x$，$P=\frac{1}{x}$，$Q=x$
$\int P\mathrm{d}x=\ln|x|$，$e^{\int P\mathrm{d}x}=x$
$y=\frac{1}{x}\!\left[\int x\cdot x\,\mathrm{d}x+C\right]=\frac{1}{x}(\frac{x^3}{3}+C)=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}$
$y'+P(x)y=Q(x)y^n$ 不是线性的，令 $z=y^{1-n}$ 可化为一阶线性。
高职考试较少涉及伯努利方程，了解代换思路即可。
方程 $y''+py'+qy=0$（$p,q$ 为常数），建立特征方程：
$r^2+pr+q=0$
把 $y''$ 换成 $r^2$，$y'$ 换成 $r$，$y$ 换成 $1$，即得特征方程。
| $\Delta=p^2-4q$ | 特征根 | 通解 |
|---|---|---|
| $\Delta>0$ | $r_1\neq r_2$（实） | $y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$ |
| $\Delta=0$ | $r_1=r_2=r$（重） | $y=(C_1+C_2 x)e^{rx}$ |
| $\Delta<0$ | $r=\alpha\pm\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$ |
口诀：不等两个 $e$，相等乘个 $x$，复根三角现。
求 $y''-5y'+6y=0$ 的通解
特征方程 $r^2-5r+6=0$，$(r-2)(r-3)=0$
$r_1=2$，$r_2=3$，通解 $y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}$
求 $y''-4y'+4y=0$ 的通解
特征方程 $r^2-4r+4=0$，$(r-2)^2=0$
重根 $r=2$，通解 $y=(C_1+C_2 x)e^{2x}$
求 $y''+2y'+5y=0$ 的通解
$r^2+2r+5=0$，$\Delta=4-20=-16<0$
$r=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$，$\alpha=-1$，$\beta=2$
通解 $y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$
求 $y''+y=0$，$y(0)=0$，$y'(0)=1$ 的特解
$r^2+1=0$，$r=\pm i$，$\alpha=0$，$\beta=1$
通解 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$
$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x$
$y(0)=C_1=0$，$y'(0)=C_2=1$
特解 $y=\sin x$
若 $y_1,y_2$ 是齐次方程的两个线性无关特解，则通解为 $y=C_1 y_1+C_2 y_2$（选择题考点）。
$y=Y+y^*$
$Y$：对应齐次方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解（含 $C_1,C_2$）
$y^*$：非齐次方程的一个特解（用待定系数法求）
设 $y^*=bx^k e^{\lambda x}$，其中 $k$ 由 $\lambda$ 与特征根的关系决定：
| $\lambda$ 与特征根的关系 | $k$ 值 |
|---|---|
| $\lambda$ 不是特征根 | $k=0$ |
| $\lambda$ 是单根 | $k=1$ |
| $\lambda$ 是重根 | $k=2$ |
$k$ 的作用：保证设出的 $y^*$ 不被齐次方程"吃掉"。
求 $y''-3y'+2y=e^{3x}$ 的通解
齐次：$r^2-3r+2=0$，$r_1=1$，$r_2=2$
$Y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}$
$\lambda=3$ 不是特征根，$k=0$，设 $y^*=be^{3x}$
$(y^*)''=9be^{3x}$，$(y^*)'=3be^{3x}$，代入：
$9b-9b+2b=1$，$b=\frac{1}{2}$
通解 $y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}+\frac{1}{2}e^{3x}$
求 $y''-3y'+2y=e^x$ 的通解
$\lambda=1$ 是单根，$k=1$，设 $y^*=bxe^x$
$(y^*)'=be^x+bxe^x=b(1+x)e^x$
$(y^*)''=b(2+x)e^x$，代入方程：
$b(2+x)-3b(1+x)+2bx=1$，$-b=1$，$b=-1$
通解 $y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}-xe^x$
求 $y''-4y'+4y=e^{2x}$ 的通解
$r^2-4r+4=0$，$r=2$（重根），$Y=(C_1+C_2 x)e^{2x}$
$\lambda=2$ 是重根，$k=2$，设 $y^*=bx^2 e^{2x}$
$(y^*)'=b(2x+2x^2)e^{2x}$，$(y^*)''=b(2+8x+4x^2)e^{2x}$
代入：$b(2+8x+4x^2)-4b(2x+2x^2)+4bx^2=1$
$2b=1$，$b=\frac{1}{2}$，通解 $y=(C_1+C_2 x)e^{2x}+\frac{x^2}{2}e^{2x}$
设 $y^*=x^k Q_m(x)$，$Q_m$ 为 $m$ 次多项式（待定系数）。
$\lambda=0$ 不是特征根时 $k=0$，是单根时 $k=1$。
求 $y''+y=x$ 的通解
$r^2+1=0$，$r=\pm i$，$Y=C_1\cos x+C_2\sin x$
$f(x)=x$，$\lambda=0$ 不是特征根，$k=0$
设 $y^*=ax+b$，$(y^*)''=0$，代入：$ax+b=x$
$a=1$，$b=0$，通解 $y=C_1\cos x+C_2\sin x+x$
求 $y''+y'=1$，$y(0)=0$，$y'(0)=0$ 的特解
$r^2+r=0$，$r_1=0$，$r_2=-1$，$Y=C_1+C_2 e^{-x}$
$f(x)=1=e^{0\cdot x}$，$\lambda=0$ 是单根，$k=1$，设 $y^*=bx$
$(y^*)'=b$，$(y^*)''=0$，代入：$0+b=1$，$b=1$
通解 $y=C_1+C_2 e^{-x}+x$，$y'=-C_2 e^{-x}+1$
$y(0)=C_1+C_2=0$，$y'(0)=-C_2+1=0$
$C_2=1$，$C_1=-1$，特解 $y=-1+e^{-x}+x$
| 方程类型 | 特征标志 | 核心方法 |
|---|---|---|
| 可分离变量 | $y'=f(x)g(y)$ | 分家后两边积分 |
| 齐次型 | $y'=\varphi(y/x)$ | 令 $u=y/x$ 代换 |
| 一阶线性 | $y'+Py=Q$ | 万能通解公式 |
| 二阶常系数 | $y''+py'+qy=0$ | 特征方程定型 |
| $\Delta$ | 根 | 通解形式 |
|---|---|---|
| $>0$ | $r_1\neq r_2$ | $C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$ |
| $=0$ | $r$（重） | $(C_1+C_2 x)e^{rx}$ |
| $<0$ | $\alpha\pm\beta i$ | $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$ |
$f(x)=ae^{\lambda x}$ → $y^*=bx^k e^{\lambda x}$
$f(x)=P_m(x)$ → $y^*=x^k Q_m(x)$
$k$ 取决于 $\lambda$ 是否为特征根（0/1/2次）。
① 一阶线性未化标准形式——$y'$ 系数必须为 $1$。
② 特征方程写错——是 $r^2+pr+q=0$，别和原方程混。
③ 重根漏乘 $x$——$\Delta=0$ 时通解是 $(C_1+C_2 x)e^{rx}$。
④ 非齐次 $k$ 值判错——必须先判断 $\lambda$ 是否为特征根。
⑤ 齐次方程回代忘——$u=y/x$ 解完必须换回 $y$。
⑥ 特解还写 $+C$——初值确定后结果不含常数。
第一步：判断方程类型（看阶数、看结构）。
第二步：一阶→分离/公式；二阶→特征方程。
第三步：非齐次先解齐次，再设特解。
第四步：有初值就代入求 $C$。
最后：代回原方程验算——左=右则正确。
微分方程是高数中最容易拿满分的计算题，找对类型，分数手到擒来！