指数与对数 互为反函数

指数函数结果 $2^{3}=8$
对数函数结果 $\log_{2}8=3$
镜像规律：指数函数的输出，恰好是对数函数的输入（反之亦然）。它们在坐标系中关于 $y=x$ 完全对称。

三角与反三角 主值限定

正弦 $\sin$ $\sin(0.5)\approx0.479$
反正弦 $\arcsin$ $\arcsin(0.479)\approx0.5$
注意：因为三角函数具有周期性，所以反三角函数只能返回其主值范围内的一个确定角度。

反函数图像 对称性展示

1.0
$y=a^x$ (指数)
$y=\log_a x$ (对数)
$y=x$ (对称轴)

函数族的锚点 必经之点

2.0
当前计算得出的锚点 $(1,\,1)$
参数 $a$ 变化时，幂函数曲线始终经过点 $(1,1)$。

锚点规律总结

幂函数 $y=x^a$ 恒过定点 $(1,\,1)$
指数函数 $y=a^x$ 恒过定点 $(0,\,1)$
对数函数 $y=\log_a x$ 恒过定点 $(1,\,0)$

锚点可视化 图形验证

图中的 红色光晕点 即为该函数族的锚点。
无论参数 $a$ 如何变化（深色曲线为当前选定参数），整个函数族的曲线始终会交汇于此。

代数函数 核心性质对比

函数名称 解析式 定义域 值域 定点锚点
幂函数 $y=x^n$ 依赖 $n$ 依赖 $n$ $(1,1)$
指数函数 $y=a^x$ 全体实数 $\mathbb{R}$ $(0,+\infty)$ $(0,1)$
对数函数 $y=\log_a x$ $(0,+\infty)$ 全体实数 $\mathbb{R}$ $(1,0)$

单调性法则

函数类型 参数条件 单调性表现
$y=a^x$ $a > 1$ 单调递增
$y=a^x$ $0 < a < 1$ 单调递减
$y=\log_a x$ $a > 1$ 单调递增
$y=\log_a x$ $0 < a < 1$ 单调递减

三角函数 周期与范围

函数 定义域 值域范围 最小正周期
$\sin x$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$ $2\pi$
$\cos x$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$ $2\pi$
$\tan x$ $x \neq k\pi + \dfrac{\pi}{2}$ $\mathbb{R}$ $\pi$

反三角函数 主值区间

函数 定义域 主值范围 (值域)
$\arcsin x$ $[-1,1]$ $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$ $[-1,1]$ $[0,\pi]$
$\arctan x$ $\mathbb{R}$ $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$