力学应用 物理质心 vs 几何形心
质心坐标计算公式：
$$ \bar{x} = \frac{\iint x\rho\,d\sigma}{\iint \rho\,d\sigma}, \quad \bar{y} = \frac{\iint
y\rho\,d\sigma}{\iint \rho\,d\sigma} $$
几何形心 (均匀材质的中心)
(1.00, 1.00)
物理质心 (受密度配重影响)
(1.00, 1.00)
如果一块薄片各处材质均匀（密度恒定），那么它的“重心”仅仅取决于它的几何形状，这就是形心。但如果材料不均匀，比如右边更厚实，那么真正的物理质心就会向右侧发生显著偏移。二重积分完美地量化了这种无穷小面积上的加权平均。
密度热力图 颜色越深代表质量越密集
积分区域被设定为 $x \in [0, 2], y \in [0, 2]$ 的正方形。图中绿点为几何固有的形心，红点为考虑密度后的物理质心。
曲面面积微元 投影放大的奥秘
$$ dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx dy $$
面积放大系数 $\sec\gamma$ (斜面法向与z轴夹角的余弦倒数)
1.00
要在二维的平面底图上计算三维曲面的展开面积，我们需要把底面微小的瓦片 $dxdy$ “提拉”到曲面上，变成倾斜的微面
$dS$。这个“提拉”和倾斜的过程必定会导致它在三维中的实际面积变大。放大的比例正好等于 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$。斜坡越陡峭，面积放大的倍数就越夸张。
投影微元拉伸动画 $dx dy \to dS$
底部的灰色正方形表示平面底部的 $dxdy$。上方的蓝色平行四边形表示实际曲面上的切面微元 $dS$。红色尖刺表示该微元的法向量
$\vec{n}$。
二重积分应用法则
用微积分透视物理世界的几何与力学属性
计算平面面积
最基础应用$$ A = \iint_D 1 \, dx dy $$
令被积函数恒为1。在直角坐标系下是求长宽微元的积分，在极坐标下则是 $\iint r \, dr d\theta$。
计算空间体积
曲顶柱体$$ V = \iint_D [z_{top}(x,y) - z_{bot}(x,y)] \, dx dy $$
上下两个曲面围成的体积，等于顶面高度函数减去底面高度函数后，在平面投影区域 D 上的二重积分。
计算薄片质量
密度累加$$ M = \iint_D \rho(x,y) \, dx dy $$
如果给定了一个不均匀的二维面密度函数 ρ(x,y)，将其在区域内无死角积分即可得到总质量。
质心坐标 (Center of Mass)
力矩平衡$$ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \rho(x,y) dA $$
计算每个微元针对某一轴的静力矩（位置乘质量），然后对所有微元求和，最后除以总质量，即可得到平衡点坐标。
几何形心 (Centroid)
均匀特例$$ \text{若 } \rho \text{ 为常数，则 } \bar{x} = \frac{1}{A} \iint_D x dA $$
当密度完全均匀一致时，质心的位置就退化为纯粹由几何形状边界决定的形心，计算时可将密度项直接约去。
转动惯量 (Moment of Inertia)
抗拒旋转的惯性$$ I_x = \iint_D y^2 \rho(x,y) dA $$
评估物体绕某一轴旋转时的惯性大小。注意：绕 x 轴旋转时，距离的平方是 y²，因此积分核是 y²ρ。
曲面面积微元
投影拉伸变形$$ dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dx dy $$
平坦的底面微元 dxdy 在倾斜的曲面上会被拉长，这个带平方根的公式就是曲面相对于底面投影的“放大系数”。
求曲面总面积
终极积分降维$$ S = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx dy $$
将面积放大系数作为被积函数，在底面投影区域 D 上进行普普通通的二重积分，即可巧妙求出空间中飘逸曲面的绝对面积。