加法公式与容斥原理 去重的艺术
事件 $A$ 或事件 $B$ 发生的总概率：
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$
P(A)
0.40
P(B)
0.30
P(AB) 减去交集
--
P(A ∪ B) 并集总和
--
如果单纯把 $A$ 的概率和 $B$ 的概率相加，中间重叠的部分（即既发生 $A$ 又发生 $B$ 的情况）就会被计算两次。因此，为了得到准确的总概率，必须减去一次
$P(AB)$。当两圆完全分开时（互斥），$P(AB)=0$。
维恩图 (Venn Diagram) 红色为 $A$，蓝色为 $B$
观察两圆的交集如何影响最终的总并集面积。
乘法公式与条件概率 分步决策树
连续无放回摸取两次，两次都是红球的概率：
$$ P(\text{红}_1 \text{红}_2) = P(\text{红}_1) \times P(\text{红}_2 | \text{红}_1) $$
计算结果
--
无放回抽取导致了事件的相互关联。第一步抽出什么球，直接改变了箱子里剩余球的构成，从而影响第二步的概率。条件概率 $P(B|A)$ 描述的正是“在事件 $A$ 已经发生的新宇宙中，事件
$B$ 发生的概率”。
概率决策树 路径概率的乘积
沿着树枝的每条完整路径，其最终发生概率等于路径上各分支概率的乘积。
概率计算公式法则
处理复杂事件交并关系的逻辑骨架
一般加法公式 (并集)
容斥原理$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$
计算“A或者B至少发生一个”的概率。为了防止重叠部分被算两遍，必须减去它们同时发生的交集概率。
互斥事件加法
无交集$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
当 A 和 B 绝对不可能同时发生时（交集为空），P(AB) = 0，此时公式简化为单纯的相加。
对立事件
互补$$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$
正难则反！当计算“至少一次”这种复杂组合时，求其对立面“一次都没有”然后用 1 减去，是极其高效的策略。
条件概率
宇宙缩小$$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $$
在已知 A 已经发生的前提下，B 发生的概率。相当于把我们的整个样本空间（宇宙）缩小到了 A 的范围内。
一般乘法公式 (交集)
分步计算$$ P(AB) = P(A)P(B|A) $$
计算“A和B都发生”的概率，等于先让A发生，然后乘以在A发生的前提下B发生的条件概率。可以自然推广到多个事件。
独立事件乘法
互不干扰$$ P(AB) = P(A)P(B) $$
如果 A 的发生完全不影响 B 发生的概率（即 P(B|A) = P(B)），称它们独立。此时联合概率直接等于各自概率的乘积。
互斥与独立的区别
概念辨析$$ \text{互斥} \implies P(AB)=0, \text{ 独立} \implies P(AB)=P(A)P(B) $$
互斥是指“有你没我”（极度相关）；独立是指“你发不发生跟我毫无关系”。两者不可能同时成立（除非其中有概率为0的事件）。