伯努利试验的叠加 二项分布 $X \sim B(n, p)$
在 $n$ 次独立重复试验中，成功 $k$ 次的概率：
$$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$
数学期望 $E(X) = np$
10.00
方差 $D(X) = np(1-p)$
5.00
当 $p=0.5$ 时，分布是完美对称的。你可以尝试调节 $p$，观察分布是如何发生偏斜的。同时注意，当 $n$ 逐渐增大时，无论 $p$
是多少，由于**中心极限定理**，离散的二项分布都会不可逆转地呈现出完美的“钟形”正态分布轮廓。
概率分布演化 离散趋近连续
蓝色柱状图为二项分布 PMF，红色虚线游标标记了期望（物理重心）所在的位置。
泊松极限 稀有事件的降维打击
当 $n \to \infty, p \to 0$，且 $np =
\lambda$ (常数) 时：
$$ C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} $$
统一参数 $\lambda = np$
3.00
计算 100! 的阶乘会让普通的计算器直接崩溃。对于极其罕见的事件（如飞机失事率、罕见病发病率），我们采用**泊松定理**，用只依赖于 $\lambda$
的公式完美逼近复杂的二项分布，这彻底解救了算力。
完美替身 二项分布 vs 泊松分布
蓝色实线体为原始的二项分布，红色虚线体为泊松逼近分布。你会发现它们惊人地吻合。
二项分布与泊松分布核心法则
重复试验中的概率规律与极限救赎
伯努利试验
二元对抗$$ \text{只有两种结果：} A \text{ 或 } \bar{A} $$
抛硬币、产品合格或报废。这是构成二项分布的原子砖块。单次试验的分布称为 0-1 分布。
二项分布的核心假设
独立重复$$ X \sim B(n, p) $$
必须满足：共进行 n 次试验；每次试验相互独立互不干扰；每次成功的概率 p 永远保持恒定不变。
概率计算公式 (PMF)
组合系数的威力$$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$
其中 $C_n^k$ 是因为这 k 次成功可以发生在 n 次试验中的任意位置，必须将所有可能的顺序考虑在内。
数字特征
均值与波动$$ E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p) $$
极其简洁的结论！它本质上是由 n 个相互独立的 0-1 分布的期望和方差累加而来的。
大数困境
阶梯算力崩溃$$ C_{1000}^3 = \frac{1000!}{3!997!} $$
当总数 n 极大时，计算含有 n! 的组合数会让计算机产生严重的浮点数溢出，此时二项分布原公式彻底失效。
泊松定理 (Poisson Limit)
降维替换$$ \lim_{n \to \infty} B(n,p) \approx P(\lambda), \text{ 其中 } \lambda =
np $$
面对“极大基数，极小概率”的稀有事件，泊松分布提供了一个摆脱了阶乘负担的完美近似公式。
泊松分布公式
稀有事件模型$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} $$
这是呼叫中心接线量、放射性衰变、交通事故发生次数等随机现象的核心数学模型。
泊松分布的奇特数字特征
均方同源$$ E(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda $$
泊松分布的期望和方差竟然完全相等。均值 $\lambda$ 越大，其分布的波动和风险也同比扩大。