正态分布的形态 概率密度函数 (PDF)

一维正态分布公式 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$：
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$
所选区间的概率面积 $P(a \le X \le b)$ 68.27%
对于连续变量，概率不再是单个点的高度，而是曲线下方的面积。单个点 (例如 $x=0$) 的概率永远为 0。调整 $\sigma$ 观察：为了保证曲线下总面积恒为 1，曲线变宽时必然变矮。

概率面积探针 蓝色高亮区域为定积分

红色虚线为均值 $\mu$ 的位置。

累积分布的本质 高度代表累加面积

累积分布函数 (CDF) $F(x)$：
$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $$
当前累加总概率 $F(x)$ 0.500
上方是概率密度曲线，阴影代表从负无穷一直累加到当前 $x$ 的概率。下方是累积分布曲线，它的 y 轴高度完美对应着上方阴影的总面积。

这深刻展现了微积分基本定理的几何意义：CDF 曲线爬升最陡峭的地方，正是 PDF 曲线最高的地方。
连续型变量与正态法则
从离散点阵跃迁至平滑概率波的数学基座

概率密度函数 (PDF)

高度非概率
$$ f(x) \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$
PDF 的函数值 f(x) 并不是概率，它甚至可以大于 1。它的真实含义是概率在坐标轴上的“密集程度”。

区间概率即面积

积分投影
$$ P(a < X < b)=\int_a^b f(x) dx $$
连续随机变量取某一个精确值的概率必定为 0。有意义的概率只存在于一个区间，等于该区间上 PDF 曲线下方的面积。

累积分布函数 (CDF)

全面接管
$$ F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $$
单调递增，呈 S 型，左端极限为 0，右端极限为 1。其导数 F'(x) 刚好等于密度函数 f(x)。

均匀分布

几何概率
$$ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad (a < x < b) $$
PDF 是一条水平线。这意味着落在任何长度相同的子区间里的概率都是完全一样的（如公交车到站的盲等时间）。

指数分布

无记忆性
$$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x > 0) $$
常用于描述等待时间或寿命。它神奇的地方在于“永远年轻”：不论你已经等了多久，接下来还需要等多久的概率分布是一模一样的。

正态分布的核心双子星

$\mu$ 与 $\sigma$
$$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $$
μ 决定了钟形曲线的中心对称轴位置；σ 决定了曲线的胖瘦。σ 越大，数据越分散，曲线越扁平。

标准正态化 (Z-Score)

统一标尺
$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1) $$
任何正态分布都可以通过平移和缩放变成标准正态分布，这让全世界所有的正态概率都可以查同一张附表。

3σ 经验法则

工业公理
$$ 68.27\% \to 95.45\% \to 99.73\% $$
数据落在距离均值 1个、2个、3个 标准差范围内的概率。超过 3σ 之外的事情被称为“极小概率事件”，常作为工程异常的报警阈值。