选择案例 四种典型数列
$$x_n = n$$
当 $n$ 无限增大时，$x_n$ 逐渐增大，没有一个固定的值。
极限不存在（趋向无穷大）
显示项数
10
数列图像 可视化展现
极限不存在
案例一 无界增长 $x_n = n$
发散数列
单调递增
无上界
$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$
案例二 收敛到 1 $x_n = \dfrac{n}{n+1}$
收敛数列
单调递增
有上界(1)
$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$
案例三 振荡数列 $x_n = \dfrac{1}{2}[1+(-1)^n]$
无极限
周期振荡
在 0 和 1 跳动
子序列极限不同
案例四 交替趋向 0 $x_n = \dfrac{1}{(-3)^n}$
收敛数列
正负交替
绝对值缩小
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$
综合对比图 收敛速度与形态
显示范围
n=20
案例二
案例三
案例四
* 案例一 $x_n=n$ 增长太快，不纳入对比图范围。
收敛性分类 有家可回 vs 四处流浪
✓ 收敛数列
案例二 ($1$)
案例四 ($0$)
✗ 发散数列
案例一 ($+\infty$)
案例三 (振荡)
极限判定准则：
- 观察数列变化趋势（递增、递减、跳动）
- 看数列是否有固定的 "目标"（极限值）
- 检查数列是否越来越接近某个数
- 简单记忆： 有极限 = 数列有"家"可回；无极限 = 数列"流浪"或"跳动"
数值验证 输入极大的 n
等待计算...