变量趋近 自变量 $x$ 在数轴上的移动
数列与函数的关系：
数列：$x_n = f(n)$，$n$ 是正整数（离散）。
函数：$y = f(x)$，$x$ 是实数（连续）。
研究极限，本质是研究当变量按某种方式无限逼近某个值时，函数值的变化趋势。
数列：$x_n = f(n)$，$n$ 是正整数（离散）。
函数：$y = f(x)$，$x$ 是实数（连续）。
研究极限，本质是研究当变量按某种方式无限逼近某个值时，函数值的变化趋势。
自变量 $x$ 从右侧无限趋近于定点 $a$。
函数追踪 $y = f(x)$ 动态变化
运动速度
5
$x = $ 2.00
$f(x) = $ 0.50
函数选择 不同特性的极限行为
趋近值跟踪表
| $x$ 的取值 | $f(x)$ 的计算值 | 整体趋势 |
|---|
极限不存在（趋向无穷）
左右极限 $\lim_{x \to a^-}$ 与 $\lim_{x \to a^+}$ 的比较
左极限：-\infty
右极限：+\infty
极限存在的充要条件：
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$
判定步骤：
1. 计算左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x)$
2. 计算右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$
3. 判断两者是否都存在（有限值）且完全相等。
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$
判定步骤：
1. 计算左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x)$
2. 计算右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$
3. 判断两者是否都存在（有限值）且完全相等。
基本类型 有限与无穷
例：$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$
例：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} =
+\infty$
特殊情况 不存在与重要极限
例：$\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})$
不存在
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
（等价代换：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$）
• $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
（等价代换：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$）
$f(0.1) = 10.000000$