增量的定义 理论基础
设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（即 $x$ 从 $x_0$ 变到 $x_0 + \Delta x$），函数值产生的相应增量称为函数增量。
$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$
- $\Delta x$ 可正可负，称为自变量增量。
- $\Delta y$ 是函数值的净变化量，也可正可负。
- 注意：$\Delta x$ 整体表示一个"变化量"，而不是"$\Delta$ 乘以 $x$"。
意义解读
几何意义
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 表示曲线 $y = f(x)$ 上两点连线（割线）的斜率。$\Delta y$ 则是两点纵坐标之差。
物理意义
若 $y = f(t)$ 表示路程与时间的关系，$\Delta y$ 表示在时间段 $\Delta t$ 内的位移，$\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$
即为该时段的平均速度。
几何示意图 图形化理解
自变量增量 $\Delta x$
函数增量 $\Delta y$
两点割线
推论与极限
直角三角形的两直角边分别为 $\Delta x$ 和 $\Delta y$。当 $\Delta x \to 0$ 时，割线逐渐趋近于切线，其斜率 $\dfrac{\Delta
y}{\Delta x}$ 将趋近于函数在该点的导数 $f'(x_0)$。
实验控制台 参数调节
1.0
1.0
初始点 $f(x_0)$
—
变化点 $f(x_0+\Delta x)$
—
函数增量 $\Delta y$
—
增量比（割线斜率）
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = —
动态演示 割线追踪
函数曲线
$\Delta x$
$\Delta y$
动态割线
互动提示：
拖动左侧的 $\Delta x$ 滑块使其不断趋近于 $0$，仔细观察右侧坐标系中的割线斜率是如何逼近该点切线的真实斜率（即导数值）的。
实战练习 1 二次函数
设函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$。
已知当 $x_0 = 1$，自变量增量 $\Delta x = 1$ 时，请计算函数增量 $\Delta y$ 的值。
已知当 $x_0 = 1$，自变量增量 $\Delta x = 1$ 时，请计算函数增量 $\Delta y$ 的值。
推导提示：
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f(2) - f(1)$
$f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0$
$f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 1$
实战练习 2 反比例函数
设函数 $f(x) = \dfrac{10}{x}$。
已知当基准点 $x_0 = 2$，自变量增量为负数 $\Delta x = -1$ 时，请计算函数增量 $\Delta y$ 的值。
已知当基准点 $x_0 = 2$，自变量增量为负数 $\Delta x = -1$ 时，请计算函数增量 $\Delta y$ 的值。
推导提示：
$\Delta y = f(2 + (-1)) - f(2) = f(1) - f(2)$
$f(1) = \dfrac{10}{1} = 10$
$f(2) = \dfrac{10}{2} = 5$
核心总结
$\Delta y$ 的正负完全取决于函数在该区间的增减性。若函数为递增，当 $\Delta x > 0$ 时必定 $\Delta y > 0$；若函数为递减，当 $\Delta x > 0$
时则 $\Delta y < 0$。