等价无穷小实验室

选择一个等价无穷小关系，然后拖动放大滑块。当倍率增大时，曲线 $f(x)$ 将在原点附近与直线 $y=x$ 完全重合。

放大倍数 1x

宏观视角

曲线弯曲，$\dfrac{0}{0}$ 型不定式，无法直接代入

$x$ (逐渐减小)	$f(x)$	$x$	$f(x)/x$

$f(x) = \sin x$

$g(x) = x$

拖动滑块放大图像，观察函数在 $x \to 0$ 时如何趋近于 $y = x$

三角函数

$\sin x$$\sim x$

$\tan x$$\sim x$

$\arcsin x$$\sim x$

$\arctan x$$\sim x$

$1-\cos x$$\sim \dfrac{1}{2}x^2$

指数与对数

$e^x - 1$$\sim x$

$a^x - 1$$\sim x\ln a$

$\ln(1+x)$$\sim x$

幂函数与二项式

$(1+x)^\alpha - 1$$\sim \alpha x$

替换定理若 $\alpha \sim \alpha'$ 且 $\beta \sim \beta'$

$$ \lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'} $$

注意：只能用于乘除关系！
在加减关系中不能直接替换。例如 $\sin x - \tan x$ 不能写成 $x - x = 0$，这是常见的错误。

求 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{e^{2x}-1}$

解：因为 $\sin(3x) \sim 3x$，$e^{2x}-1 \sim 2x$
原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

求 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos x}$

解：因为 $\ln(1+x^2) \sim x^2$，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
原式 $= \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{\frac{1}{2}x^2} = 2$

掌握常用等价无穷小公式，并严格遵守乘除替换原则，就能将复杂的 $\frac{0}{0}$ 型极限化简为基础运算。