平均变化率 函数在区间的整体变化
$$\bar{v} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$
物理意义：如果 $y$ 代表路程，$x$ 代表时间，那么 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 就代表物体在 $x_1$ 到 $x_2$
这段时间内的平均速度。
几何意义：它是连接曲线上两点 $P$ 和 $Q$ 的割线斜率。
几何意义：它是连接曲线上两点 $P$ 和 $Q$ 的割线斜率。
起点 $x_1$
1.0
终点 $x_2$
4.0
$\Delta x$
—
$\Delta y$
—
平均变化率 $k$
—
几何直观 割线斜率与增量关系
函数 $f(x)$
割线 $PQ$
$\Delta x$
$\Delta y$
瞬时变化率 极限逼近过程
$$v = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)$$
导数的定义：当自变量增量 $\Delta x$ 无限趋近于 0
时，平均变化率的极限。它反映了函数在某一点的瞬时变化率。
增量 $\Delta x$
2.50
极限动态追踪 从割线到切线
点 Q 坐标
—
当前割线斜率
—
目标切线斜率
—
导函数 从“一点”到“全体”
$$y' = f'(x)$$
如果在区间内的每一点都能求出导数，那么这些导数值就构成了一个新的函数——导函数。它描绘了原函数在各个位置“陡峭程度”的变化规律。
原函数：$f(x) = x^2$
导函数：$f'(x) = 2x$
导函数：$f'(x) = 2x$
雷达扫描仪 $f(x)$ 上的斜率就是 $f'(x)$ 的高度
左右移动鼠标进行扫描
原函数 $f(x)$
导函数 $f'(x)$