基本导数公式 选择函数观察原函数与导数关系
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
交互雷达图 滑动鼠标探测
在网格区域内左右移动鼠标探测切线
$f(x)$ 曲线
$f'(x)$ 导数曲线
当前探测切线
横坐标 $x$—
原函数 $f(x)$—
导数值 $f'(x)$—
和差法则 导数的线性性质
$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$
合并追踪 叠加效应
在网格区域内左右移动鼠标探测切线
探测点 $x$—
组合值 $y$—
导数值 $y'$—
乘积法则 相互作用率
$$(u \cdot v)' = u'v + u \cdot v'$$
案例演示： $y = x \cdot \sin(x)$
• $u = x \implies u' = 1$
• $v = \sin(x) \implies v' = \cos(x)$
$\implies y' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x)$
• $u = x \implies u' = 1$
• $v = \sin(x) \implies v' = \cos(x)$
$\implies y' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x)$
直观理解：乘积的变化率不仅取决于各项的变化速度（$u', v'$），还取决于各项当前的数值大小（$u,
v$）。一个变量很大时，另一个变量的微小变化也会引起总体的剧烈变化。
乘积追踪 非线性叠加
在网格区域内左右移动鼠标探测切线
$y = x\sin(x)$
$y'$
探测点 $x$—
函数值 $y$—
导数值 $y'$—
链式法则 复合剥洋葱
$$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
案例演示： $y = \sin(x^2)$
• 外层：$f(u) = \sin(u) \implies f'(u) = \cos(u)$
• 内层：$g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x$
$\implies y' = \cos(x^2) \cdot 2x$
• 外层：$f(u) = \sin(u) \implies f'(u) = \cos(u)$
• 内层：$g(x) = x^2 \implies g'(x) = 2x$
$\implies y' = \cos(x^2) \cdot 2x$
记忆口诀：“外导内不变，乘以内导”。变化率就像多层齿轮传动，总变化率等于各层传动比的乘积。
复合追踪 高频振荡
在网格区域内左右移动鼠标探测切线
$y=\sin(x^2)$
$y'$
探测点 $x$—
函数值 $y$—
导数值 $y'$—