链式法则 齿轮传动比隐喻
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
复合函数 $y = f(g(x))$ 就像互相咬合的齿轮：
• 第一个齿轮（内层函数 $g$）以速度 $u'$ 旋转。
• 第二个齿轮（外层函数 $f$）受第一个齿轮驱动，产生速度 $y'$。
• 总的传动比（总导数）等于各个齿轮传动比的乘积。
• 第一个齿轮（内层函数 $g$）以速度 $u'$ 旋转。
• 第二个齿轮（外层函数 $f$）受第一个齿轮驱动，产生速度 $y'$。
• 总的传动比（总导数）等于各个齿轮传动比的乘积。
内层传动比 $g'(x)$
1.5
外层传动比 $f'(u)$
2.0
总传动比 / 总导数 $y'$
3.00
机械传动模拟 观察转速叠加
观察发现：最右侧的红色齿轮转速，是左侧（输入）速度经过两次放大/缩小后的结果。这就是链式法则的核心物理意义。
剥洋葱可视化 由内向外拆解
内层: $u = x^2 \implies u' = 2x$
外层: $y = \sin(u) \implies y' = \cos(u)$
总导数: $y' = 2x \cdot \cos(x^2)$
外层: $y = \sin(u) \implies y' = \cos(u)$
总导数: $y' = 2x \cdot \cos(x^2)$
图表说明：右侧图表从上到下分别展示了内层导数、外层导数以及它们相乘得到的总导数图像。
导数栈 $u'(x) \times f'(u) = y'(x)$
实战特训 分步求导练习
题目：求 $y = \cos(3x+1)$ 的导数
Step 1. 寻找内层函数
观察括号里的表达式，内层函数 $u = ?$