什么是微分？ 以直代曲的核心思想
$$dy = f'(x) dx$$
当自变量产生一个微小的变化量 $\Delta x$（即 $dx$）时，函数值产生的线性主部变化就叫做微分 $dy$。
• $f'(x)$ 是切线的斜率。
• $dx$ 是水平方向的位移。
• 它们的乘积 $dy$ 就是在切线方向上的垂直位移。
• $f'(x)$ 是切线的斜率。
• $dx$ 是水平方向的位移。
• 它们的乘积 $dy$ 就是在切线方向上的垂直位移。
$\Delta y$ (函数的实际增量)
沿着真实的曲线走产生的高度差：
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$
$dy$ (函数的线性增量/微分)
沿着切线走产生的高度差：
$dy = f'(x) dx$
$dy = f'(x) dx$
微小误差 高阶无穷小
$$\Delta y - dy = o(dx)$$
只要 $dx$ 足够小，曲线与切线几乎重合。
它们的差值 $\Delta y - dy$ 是关于 $dx$ 的高阶无穷小。这意味着当 $dx$ 趋向于 $0$ 时，这个误差缩小的速度比 $dx$ 还要快得多。
这就是我们为什么可以在局部使用切线（线性）来代替复杂的曲线（非线性）进行近似计算的原因。
它们的差值 $\Delta y - dy$ 是关于 $dx$ 的高阶无穷小。这意味着当 $dx$ 趋向于 $0$ 时，这个误差缩小的速度比 $dx$ 还要快得多。
这就是我们为什么可以在局部使用切线（线性）来代替复杂的曲线（非线性）进行近似计算的原因。
🔬
准备好观察微观世界了吗？
在下一个面板中，我们将绘制出传说中的“微分三角形”，亲眼见证 $\Delta y$ 与 $dy$ 的分离与重合。
微分三角形 $\Delta y$ vs $dy$
考察点 $x_0$
1.5
增量 $dx$
1.20
真实增量 $\Delta y$
—
线性增量 $dy$
—
绝对误差
—
操作提示：尝试向左拖动 增量 $dx$ 滑块，让它慢慢变小。你会发现，红色误差部分迅速缩小，$\Delta y$ 变得与 $dy$
几乎一模一样。
可视化追踪 $y = 0.5x^2$
实际曲线
$dx$ (水平增量)
$dy$ (切线高)
误差 (曲线高-切线高)
近似计算器 以直代曲的应用
$$f(x_0 + dx) \approx f(x_0) + f'(x_0)dx$$
线性近似值
—
真实精确值
—
相对误差
—
为什么不用计算器？
在计算机科学和工程领域，遇到极为复杂的非线性方程时，我们通常会在局部将其转化为线性方程（一阶泰勒展开，即微分）来求解，这就是著名的“牛顿迭代法”的理论基础。
在计算机科学和工程领域，遇到极为复杂的非线性方程时，我们通常会在局部将其转化为线性方程（一阶泰勒展开，即微分）来求解，这就是著名的“牛顿迭代法”的理论基础。