模长与方向 参数调节
观察任务：调整分量滑块，留意向量长度（模长）和角度的变化。当两个分量数值相等时，方向角会有什么特征？
$$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.00$$
$$\theta = \operatorname{atan2}(4,\,3) \approx 53.1^\circ$$
几何视图 $\vec{v} = (v_x, v_y)$
向量 $\vec{v}$
方向角 $\theta$
分量投影
夹角与点积 双向量控制
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
$$\cos\theta = 0$$
几何视图 $\theta$
90.0°
向量 $\vec{a}$
向量 $\vec{b}$
夹角弧线
向量几何属性法则
代数结构与几何意义的完美统一
向量模长
勾股定理拓展$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
向量在空间中的绝对长度，非负标量。
向量点积
方向相似度$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2$$
代数乘积与几何投影的连接桥梁。点积大于零表示方向相近。
正交条件
垂直判定$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$$
两个非零向量垂直的充要条件。在正交状态下，彼此在对方方向上的投影为零。
长度 · 夹角 · 投影