投影计算
拖动向量端点，观察向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 方向上的投影如何变化，理解投影与数量积的关系
向量参数
3.0
4.0
4.0
0.0
\(\vec{a}\)(3.0, 4.0)
\(\vec{b}\)(4.0, 0.0)
投影公式
投影长度
\(\displaystyle \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)
投影向量
\(\displaystyle \vec{a}_{\parallel} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)
向量可视化
拖动向量端点可直接调整向量
向量 \(\vec{a}\)
向量 \(\vec{b}\)
投影向量
垂直分量
计算结果
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
12.00
\(|\vec{b}|\)
4.00
投影长度
3.00
夹角 \(\theta\)
53.13
度
当前夹角为锐角，投影为正值，说明两向量方向大致相同。
数量积公式
探索数量积的两种计算方式：坐标计算与几何定义，理解它们的等价性
坐标公式（代数定义）
代数定义
\(\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)
当前计算
\(3 \times 4 + 4 \times 0 = 12\)
几何公式
几何定义
\(\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta\)
当前计算
\(5 \times 4 \times \cos(53.13°) = 12\)
公式等价性验证
核心理解：两种公式计算结果相同！代数公式便于计算，几何公式揭示本质：数量积 = \(|\vec{a}|\) 在 \(\vec{b}\) 方向的投影 \(\times\) \(|\vec{b}|\)，反映了两向量的"协同程度"。
角度探索
观察不同夹角下数量积和投影的变化规律，发现临界角度的特殊意义
角度控制
45
45
当前夹角(度)
数值显示
\(\cos\theta\)0.707
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)14.14
投影长度3.54
角度可视化
当 \(0° < \theta < 90°\) 时，\(\cos\theta > 0\)，数量积为正，投影为正。