法向量计算器 向量积

向量 $\vec{a}$
2.0
0.0
0.0
向量 $\vec{b}$
0.0
2.0
0.0
$$ \vec{n} = (0,\; 0,\; 4) $$
$\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})$ $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ $\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}$

三维可视化 拖拽旋转视角

向量 $\vec{a}$ 向量 $\vec{b}$ 法向量 $\vec{n}$
$|\vec{n}|$ 模长
4.00
单位法向量 $\hat{n}$
(0, 0, 1)
$\vec{n}\cdot\vec{a} = $ 0 ⊥ 垂直 $\vec{n}\cdot\vec{b} = $ 0 ⊥ 垂直
法向量 $\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$ 始终垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面

平行四边形面积 几何意义

向量 $\vec{a}$
3.0
1.0
向量 $\vec{b}$
1.0
3.0
$$ S = |\vec{a}\times\vec{b}| = 8 $$
$S = |\vec{a}\times\vec{b}|$ $S = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$ $S_{\triangle} = \tfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$ 三角形

几何图示 实时预览

向量 $\vec{a}$ 向量 $\vec{b}$ 平行四边形 高 $h$
$|\vec{a}|$
3.16
$|\vec{b}|$
3.16
夹角 $\theta$
53.1°
$\sin\theta$
0.80
面积 $S = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$
8.00
$|\vec{a}|{\cdot}|\vec{b}|{\cdot}\sin\theta = $ 8.00 ✓ 相等
向量积的模 $|\vec{a}\times\vec{b}|$ 恰好等于平行四边形面积
向量积核心法则
理解叉积的代数与几何本质

行列式定义

计算方法
$$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$$
按第一行展开，分别求 $\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ 的系数

反交换律

方向反转
$$\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})$$
交换两个向量的顺序，结果方向相反、大小不变

几何意义

面积与方向
$$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$$
模长 = 平行四边形面积；方向由右手定则确定

分配律

线性性
$$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}$$
向量积对加法满足分配律，但不满足交换律
行列式 · 反交换 · 右手则
$\vec{a}\times\vec{b} \neq \vec{b}\times\vec{a}$（向量积不满足交换律）