平面方程 法向量主导形态
$$x + y + z = 0$$
拖拽旋转 · 滚轮缩放
法向量决定平面的朝向。
直线方程 方向与锚点决定轨迹
$$\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$$
拖拽旋转 · 滚轮缩放
方向向量确定直线走向。
平面交线 位置关系的直观展现
$$\vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \quad \text{(相交)}$$
拖拽旋转 · 滚轮缩放
法向量不平行，两平面相交成一条直线。
点面距离 垂直投影的最短路径
$$d = \frac{|D|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}} = 0$$
拖拽旋转 · 滚轮缩放
黄色虚线代表点到平面的最短距离 $d$。
核心空间法则
解析几何中平面与直线的内在逻辑
平面方程
一般式$$Ax + By + Cz + D = 0$$
法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 决定平面朝向。
平面间关系
夹角余弦$$\cos\theta =
\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$
法向量平行则平面平行，点乘为0则垂直。
直线方程
对称式$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$
方向向量 $\vec{s}=(m,n,p)$ 决定直线方向。
直线间关系
外积与混合积$$\vec{s_1}\times\vec{s_2}$$
外积为0则平行，混合积非0则异面。
线面关系
线面夹角$$\sin\theta = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$$
法向与方向点乘为0则线面平行。
点到面距离
投影长度$$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
空间点在平面法向量上的投影距离。
点到线距离
面积法$$d = \frac{|\vec{M_0M_1}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}$$
利用平行四边形面积除以底边求高。
混合积应用
共面判定$$(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$$
混合积为0则三个空间向量共面。