偏导数定义 降维观察
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,
y_0)}{\Delta x} $$
切片与切线 固定其中一个变量
当固定 y 时，二元函数退化为平面上的一元函数曲线。
几何解释 空间切线的斜率
$$ \tan \alpha = f_x(x_0, y_0) $$
偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 描述了曲面 $z=f(x,y)$ 沿 $x$ 轴方向的倾斜程度。
求 $f_x(x_0, y_0)$ 时，是用平面 $y=y_0$ 截切曲面，得到的交线在 $x=x_0$ 处切线的斜率。如果值大于零，说明沿该轴正向移动时在“上坡”。
求 $f_x(x_0, y_0)$ 时，是用平面 $y=y_0$ 截切曲面，得到的交线在 $x=x_0$ 处切线的斜率。如果值大于零，说明沿该轴正向移动时在“上坡”。
等高线投影 三维结构在二维平面的降维表达
红色和绿色线段表示分别沿 x 轴和 y 轴方向的局部切线斜率趋势。
偏微分核心法则
从单一变量到多维空间的函数变化率规律
一元函数导数
基础定义$$ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
描述平面曲线在一点处的切线斜率和局部一维变化率。
偏导数 (对 x 求导)
降维视角$$ f_x = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x,y)}{\Delta x}
$$
计算时将变量 y 严格视作常数，单独评估函数对 x 的响应。
偏导数 (对 y 求导)
降维视角$$ f_y = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}
$$
同理，计算时将变量 x 视作常数，评估函数对 y 的响应。
偏导数的几何意义
空间切线$$ \tan \alpha = f_x(x_0,y_0) $$
偏导数值等于曲面在平行于 xOz 或 yOz 平面的截线处的切线斜率。
二阶偏导数
凹凸性判定$$ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial
x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) $$
对函数连续求偏导两次，反映函数在某一轴向的弯曲程度。
混合偏导数定理
克莱罗定理$$ f_{xy} = f_{yx} $$
只要二阶混合偏导数连续，则先对 x 还是先对 y 求导的结果必然相同。
偏导与连续的陷阱
必要非充分$$ \text{偏导存在} \nRightarrow \text{函数连续} $$
偏导只保证沿坐标轴方向连续，并不能推导出整个曲面在该点处完全连续。
梯度向量雏形
最快上升$$ \nabla f = \left( f_x, f_y \right) $$
将各个方向的偏导数打包成一个向量，指向函数值增长最快的方向。