路径探索 趋近原点的方式
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0.500 $$
结果依赖于 k 值，极限不存在
路径可视化 二维平面的轨迹
蓝色曲线为所选趋近路径，必须从各个方向趋近均相等，二重极限才存在。
极坐标法 角度依赖性分析
$$ x = r\cos\theta, y = r\sin\theta $$
观察化简后的表达式是否包含 θ
极坐标视图 沿射线逼近原点
若极坐标化简后结果依赖于角度 θ，则证明原二重极限不存在。
二重极限判定法则
从逼近路径到存在性证明的完整逻辑
一元极限回顾
基础概念$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $$
一元函数中，极限存在仅需左极限与右极限（两个方向）存在且相等。
二重极限定义
空间逼近$$ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = L $$
要求动点 P(x,y) 无论以何种方式趋近于 P₀(x₀,y₀)，函数值都必须趋近于同一个常数 L。
任意路径原则
核心条件$$ \forall \text{ Path } C, \lim_{P \xrightarrow{C} P_0} f = L $$
平面上有无数条趋近路径。只要有一条路径极限不同，二重极限即不存在。
直线路径测试
常用证伪$$ y = kx \implies f(x, kx) $$
令 y=kx，若化简后极限值依赖于参数 k，则说明沿不同直线逼近结果不同，极限不存在。
曲线路径测试
进阶证伪$$ y = kx^2 \text{ 或 } x = ky^2 $$
有些函数沿所有直线逼近极限都为 0，但沿特定抛物线逼近时极限非 0。
否定策略逻辑
逻辑推演$$ L_1 \neq L_2 \implies \text{D.N.E} $$
找到两条不同的路径产生不同的极限值，是证明二重极限不存在的最有效方法。
极坐标代换法
证明存在$$ \lim_{r \to 0} f(r\cos\theta, r\sin\theta) $$
用于趋近原点。若化简后极限为 0 且与 θ 无关（可被一致放缩），则可证明极限存在。
夹逼定理应用
严谨证明$$ 0 \le |f(x,y)| \le g(x,y) $$
若放大后的函数 g(x,y) 在趋近原点时极限为 0，则原函数极限必然为 0。常配合不等式使用。