链式法则与隐函数微分

链式法则倍率传动

复合函数关系

自变量 x 1.50

内层导数 du/dx --

外层导数 dy/du --

总导数 dy/dx = (dy/du) × (du/dx) --

内层变化率与外层变化率的乘积构成了整体的变化率。

内层关系：u = g(x) 及其切线斜率

外层关系：y = f(u) 及其切线斜率

隐函数微分圆的切线斜率

$$ x^2 + y^2 = R^2 $$

两边对 x 求导得出

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $$

当前点 (x, y) --

切线斜率 dy/dx --

将 y 视作 x 的隐函数进行求导。注意在圆的顶部 (y 达到最大) 斜率为 0，而在圆的最右侧 (y=0) 斜率趋于无穷大。

交互曲面动态切线

在圆周上拖动点 P 观察切线变化规律。

链式与隐函数法则

多维变量的传导与方程内蕴求导规律

复合函数结构

基础概念

$$ y = f(g(x)) \implies y = f(u), u = g(x) $$

函数嵌套，内层函数的输出作为外层函数的输入。

一元链式法则

乘积法则

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

外层函数的导数与内层函数的导数相乘，实现变化率的传递。

多元链式法则 (单自变量)

全导数

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} $$

当 z 依赖于多个中间变量，且中间变量均由一个共同变量 t 决定时，将各路径变化率相加。

多元链式法则 (多自变量)

树状分支

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} $$

计算 z 对某一个最终自变量 x 的偏导数时，遍历所有途径该 x 的中间分支。

隐函数存在定理

理论基石

$$ F(x,y)=0, F_y \neq 0 \implies y=f(x) $$

只要满足特定连续性和偏导不为零的条件，方程可以在局部确定一个显式函数。

一元隐函数求导

公式法

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$

直接对大 F 求偏导的负商，无需解出 y 即可求得切线斜率。

二元隐函数求导

空间曲面

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} $$

对于空间曲面方程 F(x,y,z)=0，同理通过公式法求出曲面的偏导数。

偏导数与法向量的关联

几何属性

$$ \vec{n} = (F_x, F_y, F_z) $$

隐函数定义的曲面中，函数 F 的梯度向量直接垂直于该曲面，即为法向量。