函数增量对比 全微分 vs 真实全增量
基准点固定为 $P_0(1, 1)$
$$ dz = f_x(P_0)dx + f_y(P_0)dy $$
全微分 $dz$ 是曲面在基准点切平面的高度变化，它是实际曲面高度变化 $\Delta z$ 的最佳线性近似。
全微分 (线性近似) dz
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实际全增量 Δz
--
逼近误差 E = |Δz - dz|
--
当偏移量趋于 0 时，误差是高阶无穷小量 $\circ(\rho)$。您可以尝试缩小 $dx$ 和 $dy$ 观察误差下降的速度。
切平面投影 自变量邻域内的线性化
$$ \rho = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} $$
全微分的几何意义在于用切平面去代替微小邻域内的曲面。右侧画布展示了自变量 $(x, y)$ 在平面上的变动：
• 中心黑点为基准点 $P_0(x_0, y_0)$
• 红色箭头代表自变量的联合偏移 $\vec{v} = (dx, dy)$
• 浅蓝色圆圈代表 $P_0$ 的 $\rho$ 邻域
• 中心黑点为基准点 $P_0(x_0, y_0)$
• 红色箭头代表自变量的联合偏移 $\vec{v} = (dx, dy)$
• 浅蓝色圆圈代表 $P_0$ 的 $\rho$ 邻域
二维平面坐标系下邻域 $\rho$ 的变化展示。
全微分核心法则
从单变元近似到多变元切平面的拓展规律
一元函数微分
切线近似$$ dy = f'(x)dx $$
用切线在某点附近的局部高度改变，近似替代曲线的真实高度改变。
全增量定义
真实变化$$ \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) $$
当所有自变量同时发生变化时，函数值的精确改变量。
全微分定义
线性主部$$ dz = A\Delta x + B\Delta y $$
若全增量可分解为线性部分与高阶无穷小之和，该线性部分即为全微分。
可微必要条件
偏导必须存在$$ A = f_x(x,y), \quad B = f_y(x,y) $$
函数若可微，则各偏导数必然存在，且构成线性主部的系数。
偏导存在不一定可微
经典陷阱$$ \text{偏导存在} \nRightarrow \text{可微} $$
偏导只保证沿坐标轴方向平滑，无法保证曲面整体可被一个平整的切平面拟合。
可微充分条件
偏导连续$$ f_x, f_y \text{ 在点 } (x_0,y_0) \text{ 连续} \implies \text{可微} $$
只要偏导函数在局部是连续的，该处必定可微（切平面稳定存在）。
全微分的线性近似
切平面方程$$ f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + f_x dx + f_y dy $$
工程中常用于复杂多元函数的误差分析和局部数值估算。
误差高阶极小控制
极限余项$$ \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - dz}{\rho} = 0 $$
误差量相比于自变量邻域半径 ρ 衰减得更快，证明线性近似的高效性。