方向导数与梯度

方向导数投影全方位的变化率

目标函数：椭圆抛物面 $f(x,y) = \frac{x^2}{2} + y^2$

$$ D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta $$

当前点 X 1.00

当前点 Y 1.00

方向角 $\theta$ 45°

梯度向量 $\nabla f$ --

单位方向向量 $\vec{u}$ --

方向导数 $D_{\vec{u}}f$ (两者的点积) --

等高线视图红色的梯度与黄色的方向

当方向角 $\theta$ 与梯度方向重合时，方向导数达到最大值 (即梯度的模长)。
当方向角与梯度垂直时，方向导数为 0。

梯度正交性最快上升的必经之路

$$ \nabla f \perp \text{等高线} $$

在二元函数 $z = f(x,y)$ 中，梯度向量 $\nabla f$ 具有一个极其优美的几何性质：

它在任何一点处，都**严格垂直**于经过该点的等高线。
这意味着，如果你站在山坡上的某一点，想要最快地往高处走（沿着梯度方向），你必须垂直于你脚下的等高线行进。

等高线切线斜率 $k_t$ vs 梯度斜率 $k_n$ --

动态正交验证拖动探针

在画布上拖动点 $P$，观察绿色的切线与红色的梯度向量永远保持 90° 垂直。

梯度与方向导数

从轴向变化率到全空间最优路径的深刻揭示

偏导数的局限性

轴向限制

$$ f_x \text{ 和 } f_y $$

偏导数仅能告诉我们沿着 x 轴和 y 轴这两个特殊方向的函数变化率。

方向导数定义

任意方向

$$ D_{\vec{u}}f = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)}{\rho} $$

函数沿着任意给定的单位向量 $\vec{u}$ 方向的变化率。

方向导数计算公式

可微条件

$$ D_{\vec{u}}f = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta $$

若函数在点可微，则它在任意方向的导数可由偏导数线性组合而成。

梯度向量定义

核心组装

$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $$

将各个方向的偏导数打包成一个向量，它是空间中极其重要的向量场。

方向导数与梯度的点积

内积之美

$$ D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = |\nabla f| \cos\alpha $$

方向导数本质上就是梯度向量在方向向量 $\vec{u}$ 上的投影长度。

最快上升与最快下降

极值方向

$$ \max = |\nabla f|, \quad \min = -|\nabla f| $$

当方向角与梯度同向时（$\alpha=0$），上升最快；反向时下降最快。

零变化率方向

垂直条件

$$ D_{\vec{u}}f = 0 \iff \vec{u} \perp \nabla f $$

当行进方向与梯度垂直时（$\alpha=90^\circ$），高度不发生变化。

梯度的几何意义

正交性