驻点探针 寻找一阶偏导数为零的点

Hesse 矩阵判别式
$$ D = AC - B^2 = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $$
移动坐标轴，当一阶偏导数 $f_x=0$ 且 $f_y=0$ 同时满足时，该点称为“驻点”，此时激活二阶导数判别法。
一阶偏导 fx --
一阶偏导 fy --
A (fxx) --
B (fxy) --
C (fyy) --
判别式 D = AC - B² --
移动滑块寻找驻点
一维切面剖析：X轴向与Y轴向的凹凸性变化

等高线视图 二维投影中的地貌特征

$$ f(x,y) = C $$
极值点和鞍点在等高线图上有着截然不同的视觉特征：

• 极小/极大值：等高线呈现出一圈圈封闭的同心椭圆或圆，中心即为山顶或谷底。
• 鞍点：等高线在鞍点附近呈现出双曲线的交叉形态，像一个“X”型走廊。
当前选中函数 --
右侧图像会自动同步您在“判定”面板中选择的函数与位置点 (红点)。
二元极值法则
从寻找平坦区域到确立空间巅峰的严密逻辑

极值定义

局部最优
$$ f(x,y) \le f(x_0,y_0) $$
在某点的一个极小邻域内，如果该点的函数值始终大于（或小于）周围所有点，则为极大（极小）值。

费马引理 (二维扩展)

必要条件
$$ f_x(x_0,y_0) = 0 \text{ 且 } f_y(x_0,y_0) = 0 $$
可微函数取得极值的地方，其切平面必定是水平的（导数为零）。

驻点概念

候选目标
$$ \nabla f = \vec{0} $$
使得所有一阶偏导数同时为零的点称为驻点。极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。

Hesse 矩阵构建

二阶信息
$$ H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} $$
利用二阶偏导数构建的矩阵，记录了曲面在各个方向上的弯曲（凹凸）信息。

判别式提取

简化参数
$$ A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy} $$
为了计算简便，将矩阵中的关键元素提取为常数 A, B, C 进行后续计算。

极值判别式 D

核心检验
$$ D = AC - B^2 $$
计算矩阵行列式的值。若 D > 0，说明曲面在所有方向的凹凸性一致，极值存在。

极值点细分

高低判定
$$ \text{若 } D > 0, A > 0 \implies \text{极小值} $$
D 大于零确立了极值地位。此时看 A，A > 0 说明开口向上是谷底，反之 A < 0 则是山峰。

鞍点与失效

特例排查
$$ D < 0 \implies \text{鞍点} $$
D < 0 表示不同方向的弯曲趋势相悖（如马鞍面）。若 D=0，则该法则失效，需另寻他法。