线性组合 同型矩阵的加法与数乘
结果矩阵 C 为
$$ C = k_1 A + k_2 B $$
只有维度完全相同的矩阵才能进行加法运算。标量乘法会将外侧系数分配到矩阵的每一个内部元素上。这两者的结合称为矩阵的线性组合。
组合透视 计算过程的视觉分布
动态展示 $2 \times 2$ 矩阵对应位置元素的组合结果。
矩阵转置 沿主对角线的镜像翻转
$$ A = (a_{ij})_{3 \times 4} \implies A^T = (a_{ji})_{4 \times 3} $$
转置操作将矩阵的行转化为列，列转化为行。不仅元素的坐标 $(i, j)$ 互换，整体的维度也会发生翻转。
变换轨迹 空间维度的交替
滑动滑块，观察每一个元素跨越对角线前往新位置的轨迹。
线性运算与转置法则
矩阵基础操作的代数性质与几何直觉
矩阵加法
对应元素相加$$ C_{ij} = A_{ij} + B_{ij} $$
必须是同型（尺寸完全相同）的矩阵才能相加，结果保持原有的维度。
标量乘法
整体缩放$$ (\lambda A)_{ij} = \lambda A_{ij} $$
一个数乘上矩阵，意味着矩阵里的每一个单独元素都要乘以这个数。
加法交换律
次序无关$$ A + B = B + A $$
由于实数的加法满足交换律，因此由实数组成的矩阵加法也完美继承了这一性质。
加法结合律
分组自由$$ (A + B) + C = A + (B + C) $$
无论是两两结合还是整体计算，线性运算都不会受到分组先后顺序的影响。
转置定义
行列翻转$$ A^T_{ij} = A_{ji} $$
沿着主对角线如同照镜子一般翻折，原本的第 i 行变成了第 i 列。
转置的复原 (对合律)
抵消作用$$ (A^T)^T = A $$
连续做两次转置操作，矩阵将恢复为最开始的形态。
加法的转置穿透律
独立变换$$ (A + B)^T = A^T + B^T $$
对两个矩阵相加的结果进行转置，等于对它们分别转置后再相加。
标量的转置免疫
常数游离$$ (k A)^T = k A^T $$
常数标量不受转置操作（位置移动）的影响，可以直接提到转置符号外层。