乘法内积机制 行与列的碰撞
元素 $C_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积
$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} $$
当前步骤运算
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左矩阵提供行向量，右矩阵提供列向量。维度匹配是前提：左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数 ($m \times p$ 乘 $p \times n$)。
动态演算 $2 \times 2$ 矩阵示例
总览：矩阵乘法的整体框架。
复合线性变换 $AB\vec{v}$ 的几何直觉
$$ (AB)\vec{v} = A(B\vec{v}) $$
矩阵乘法的本质是线性变换的嵌套复合。计算 $C = AB$ 时，其实是构建了一个新的矩阵 $C$，它能够一次性完成“先做 $B$ 变换，再做 $A$ 变换”的整体效果。
空间扭曲 网格与基向量的追踪
阶段 0: 原始坐标空间。红绿箭头代表基向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$。
矩阵乘法核心法则
从维度匹配规则到空间复合变换的深刻内涵
维度匹配条件
内标一致$$ A_{m \times p} \times B_{p \times n} = C_{m \times n} $$
左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数，否则乘法无定义。
行乘列法则
点积机制$$ c_{ij} = \text{Row}_i(A) \cdot \text{Col}_j(B) $$
结果矩阵中第 i 行第 j 列的元素，是由 A 的第 i 行和 B 的第 j 列做点积得来的。
不满足交换律
顺序极严$$ AB \neq BA \quad \text{(一般情况)} $$
先旋转再切变，与先切变再旋转，得到的是完全不同的几何结果。
结合律
自由编组$$ (AB)C = A(BC) $$
只要保持前后顺序不变，矩阵乘法的计算可以任意分组，这在计算机图形学中极为重要。
分配律
加乘展开$$ A(B+C) = AB + AC $$
线性变换具有可加性，对合成后的向量做变换等于对各部分做变换后再合成。
单位阵中立性
空间恒等$$ AI = IA = A $$
乘以单位矩阵 I，相当于“原地不动”的恒等变换，不改变矩阵的任何信息。
转置的穿脱原则
顺序反转$$ (AB)^T = B^T A^T $$
复合矩阵的转置等于各自转置的反序相乘，如同穿袜子和鞋子的反向脱下过程。
乘法的几何本质
复合线性变换$$ \vec{v} \xrightarrow{B} B\vec{v} \xrightarrow{A} A(B\vec{v}) $$
计算 AB 的过程，就是在寻找一个单步骤的变换矩阵 C，使其效果等同于先做 B 再做 A。