代数求逆 伴随矩阵法
二阶伴随公式：主对角互换，副对角变号
$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$
行列式 $|A|$
5.00
如果 $|A| = 0$，则说明该矩阵将二维平面压缩成了一条线或一个点，丢失了信息，因此无法被“逆转”复原，称为奇异矩阵。
求逆过程展示 原矩阵与逆矩阵并列对比
左侧为原矩阵 A，右侧为推导出的逆矩阵 A⁻¹。
撤销变换 回到最初的起点
$$ A^{-1} (A \vec{x}) = I \vec{x} = \vec{x} $$
空间中的向量在乘以矩阵 $A$ 后会发生偏转和拉伸。而逆矩阵 $A^{-1}$ 的作用就是精准地施加一次“反向扭曲”，将一切强行拉回原样。
空间追踪 基向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$
0% ~ 100% 为原矩阵 A 的作用；100% ~ 200% 为逆矩阵的复原作用。
逆矩阵核心法则
线性代数中的“除法”与空间变换的“撤销键”
逆矩阵定义
双向恒等$$ AB = BA = I \implies B = A^{-1} $$
如果两个方阵相乘结果为单位阵，则它们互为逆矩阵，作用完全相互抵消。
可逆的充要条件
非奇异$$ \det(A) \neq 0 \iff A \text{ 可逆} $$
只有当行列式不为零（空间未被降维压扁）时，丢失的信息才不存在，变换才可以被完美倒退。
伴随矩阵求逆法
代数公式$$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* $$
利用代数余子式构造的伴随矩阵除以行列式。对二阶矩阵而言，表现为主对角互换，副对角变号。
高斯-约当求逆法
增广矩阵$$ [A | I] \xrightarrow{\text{行变换}} [I | A^{-1}] $$
将 A 和单位阵拼接，对整体做初等行变换，当左侧变为单位阵时，右侧自动成为逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
绝对排他$$ \text{若 } A \text{ 可逆，则其逆必定唯一} $$
在数学定义上，不可能存在两个不同的矩阵都能完美撤销同一个矩阵的变换效果。
乘积的逆（穿脱原则）
顺序反转$$ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} $$
先穿袜子（B）再穿鞋（A），脱的时候必须先脱鞋（A的逆）再脱袜子（B的逆）。顺序颠倒。
转置的逆
交换自由$$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$
对一个矩阵先转置后求逆，与先求逆后转置，得到的结果完全相同。它们的操作是正交的。
解方程组的终极武器
$Ax=b$$$ A\vec{x} = \vec{b} \implies \vec{x} = A^{-1}\vec{b} $$
如果系统矩阵 A 可逆，只需将其逆矩阵乘在结果向量 b 上，即可直接获得唯一解向量 x。