求解机制 增广矩阵的阶梯化
当前方程组：
$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $$
解的结构判据：克罗内克-卡佩里定理
秩(A) = 秩([A|b]) = 2
利用初等行变换，我们可以将增广矩阵化为行最简形，从中直接读取方程组的解。系数矩阵的秩与增广矩阵的秩，决定了解的存在性与唯一性。
高斯-约当消元 $[A | \vec{b}] \to [\text{RREF} | \vec{x}]$
左侧为原始增广矩阵，右侧为经过初等变换后的行最简形矩阵。
代数方程的几何映像 寻找公共交点
$$ \det(A) = a_1 b_2 - a_2 b_1 = -2.00 $$
方程组的解就是两条直线在平面上的公共点。
平面交线 几何解空间的直观判定
红蓝两线的交点对应方程组的解。
线性方程组法则
用矩阵语言破译代数方程的隐秘结构
矩阵化简方程组
优雅封装$$ A\vec{x} = \vec{b} $$
将繁杂的未知数和加号去掉，仅提取核心的系数和常数，放入增广矩阵中集中处理。
克拉默法则
行列式解法$$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$
对于满秩方阵，可以用替换列后的行列式与原行列式的比值直接求出解。理论优美但在高维计算中极其低效。
增广矩阵判据
终极判决$$ [A | \vec{b}] $$
Kronecker-Capelli 定理：解的命运完全由系数矩阵秩与增广矩阵秩的比较结果决定。
情况一：唯一解
独立相交$$ r(A) = r([A|b]) = n $$
方程组包含了刚好足够的独立信息。在几何上表现为所有超平面交于空间中的唯一一点。
情况二：无穷多解
信息冗余$$ r(A) = r([A|b]) < n $$
方程中存在多余的重复信息，实际上限制条件不足。几何上表现为超平面重合形成了一条线或一个面。
情况三：无解
自相矛盾$$ r(A) < r([A|b]) $$
意味着推导出了诸如 0 = 1 这样的荒谬结论。几何上表现为超平面互相平行，永无交集。
齐次方程组
永远有解$$ A\vec{x} = \vec{0} $$
常数项全为0，因此必然有一个全零的平庸解。只有当 r(A) < n 时，才存在非零的无穷多解。
非齐次解的结构
通解拼装$$ \vec{x} = \vec{x}_p + \vec{x}_h $$
非齐次方程的通解 = 它的一个特解 + 对应齐次方程的通解。这揭示了解空间的平行位移本质。