寻找不变方向 非旋转性质的探针
当原向量与变换后向量共线时，方程成立：
$$ A \vec{x} = \lambda \vec{x} $$
探针状态
偏离...
共线测试仪 红色为 $\vec{x}$，蓝色为 $A\vec{x}$
若蓝线与红线完全重合或方向恰好相反，红线所指即为特征向量的方向。
对角化映射 特征基底下的“降维打击”
在特征向量构成的坐标系下：
$$ A = P \Lambda P^{-1} $$
大多数矩阵乘法会造成网格的偏转和扭曲。但如果我们把特征向量（黄色箭头）作为坐标轴，你会发现，矩阵的作用仅仅是沿着这些特征轴进行了纯粹的“拉伸”或“压缩”。
网格拉伸 黄色为特征向量，红蓝为标准基底
播放动画，观察只有黄色特征向量没有发生偏转。
特征值与特征向量法则
解构矩阵最本质的拉伸方向与缩放倍率
核心方程
不变性$$ A\vec{x} = \lambda\vec{x} $$
寻找那些在经过矩阵 A 变换后，仅仅长度改变（乘以常数 λ）而方向不发生偏转的非零向量。
特征多项式
降秩求根$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
由于要有非零解，矩阵 (A-λI) 必须降秩。让其行列式为 0，即可解出所有的特征值 λ。
迹与特征值的关系
求和不变量$$ \sum \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum a_{ii} $$
所有特征值之和，永远等于矩阵主对角线元素之和（即矩阵的迹）。这是一个极快检验计算结果的法则。
行列式与特征值的关系
乘积不变量$$ \prod \lambda_i = \det(A) $$
所有特征值的乘积，完美等于矩阵的行列式。这意味着如果有任何一个 λ=0，矩阵必不可逆。
实对称矩阵定理
完美对角化$$ A = A^T \implies \text{特征值全为实数且正交} $$
这是量子力学和物理张量中最核心的定理。它们不仅能对角化，而且所有特征向量相互垂直。
对角化分解
特征基底转换$$ A = P \Lambda P^{-1} $$
将矩阵的特征向量并排组成 P，特征值放入对角阵 Λ。这允许我们在“顺应”矩阵性质的坐标系下看问题。
高次幂的极速计算
降维打击$$ A^n = P \Lambda^n P^{-1} $$
计算矩阵的一百次方极其痛苦，但对于对角阵 Λ 来说，只需把对角线上的每个数字进行一百次方即可。
马尔可夫矩阵的极限
稳态分布$$ \lambda_1 = 1 $$
用于描述概率转移的矩阵必然有一个特征值为 1。它对应的特征向量就是系统随着时间推移最终达到的稳定概率分布。