从速度猜距离 逆向思维
微积分是一门研究变化的学问。
🚀 求导： 已知车辆的“位置规律”，算出它的“瞬间速度”。
⏪ 积分： 已知车辆的“瞬间速度”，倒推出它的“位置规律”。
原函数的定义
如果 $F'(x) = f(x)$，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的原函数。
$x=$ 2.00
当前速度 $f(x)$
--
累积距离的切线斜率 $F'(x)$
--
观察右侧双屏：上图的高度，恰好等于下图的倾斜度！
双屏同步仪 导数与原函数的羁绊
速度仪: $f(x) = 2x$
↕
位置仪: $F(x) = x^2$
起点在哪里？ 神秘的常数 C
当我们知道了一辆车的“速度规律” $f(x) = \cos(x)$，我们倒推出了它的位置规律 $F(x) = \sin(x)$。
🤔 思考一个漏洞：
如果两辆车的速度表显示完全一样，它们现在的确切位置必定一样吗？
不一定！一辆车可能从北京出发，另一辆从上海出发。
在数学中，常数的导数是 0。所以 $F(x)$ 和 $F(x) + C$ 求导后完全一样！这就是为什么不定积分的结果必须加上一个 $+C$。
$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$
C 代表了无穷多个可能的起点，它们构成了一个“函数家族”。
$C=$ 0.0
平移的曲线族 不管怎么平移，斜率都不变
原函数族: $y = \sin(x) + C$
拖动滑块，观察紫色曲线上下平移。
化繁为简 拆积木游戏
面对复杂的函数组合，我们不需要害怕。不定积分具有极好的“线性性质”，就像拆积木一样：
- 加减可以拆： $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
- 系数可提出： $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$
比如我们要积分：$h(x) = \alpha \cos(x) + \beta$
$\int (\cos(x) + 1) dx = \sin(x) + x + C$
1.0
1.0
组合后的原函数 $F(x) = \alpha \sin(x) + \beta x$
波动部分
$\alpha\sin(x)$
倾斜部分
$\beta x$
组合结果
连接导数与面积 微积分基本定理 (FTC)
牛顿和莱布尼茨发现了一个惊天秘密：求曲线下方的“面积”，竟然只需要计算它的“原函数”在两端的差值！这成为了连接不定积分和定积分的终极桥梁。
$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
定积分(面积) = 原函数(高度)的差值
$b=$ 2.00
左侧阴影面积 (累积量)
--
右侧原函数高度差
--
神奇吧！虽然形状完全不同，但这两个数值永远相等！
面积: $f(x) = 2x$ 曲线下方面积
高度差: $F(x) = x^2$ 纵坐标变化