凑微分法 第一换元法的核心思想

当被积函数可以写成 $f(g(x)) \cdot g'(x)$ 的形式时，我们可以将 $g'(x)dx$ 打包成 $d(g(x))$，令 $u=g(x)$，将复杂积分化为简单积分。

核心公式：

$\int f(\color{blue}{g(x)}) \cdot \color{red}{g'(x)\,dx} = \int f(\color{blue}{u})\,\color{red}{du}$
Step 1: 观察原式
内层函数 $g(x)$
$x^2$
其导数 $g'(x)$
$2x$

解题慢动作 $\int 2x \cos(x^2)\,dx$

$\int 2x \cdot \cos(x^2)\,dx$
观察：被积函数由哪些部分组成？
$\int \cos(\color{blue}{x^2}) \cdot \color{red}{2x\,dx}$
发现 $\color{red}{2x\,dx}$ 恰好是 $\color{blue}{x^2}$ 的微分 $d(x^2)$！
$\int \cos(\color{blue}{u})\,\color{red}{du}$，其中 $u = x^2$
打包完成！变成了基本积分公式。
$= \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$
积分后把 $u$ 换回 $x^2$，完成！
$f(x) = 2x\cos(x^2)$ 与其原函数 $F(x)=\sin(x^2)$

常见凑微分模式 点击查看详情

凑微分法的关键：在被积函数中识别出"母子关系"——某个内层函数 $g(x)$ 及其导数 $g'(x)$。

模式 A：$\int f(ax+b)\,dx$
线性换元，最简单的凑微分。$d(ax+b)=a\,dx$，所以 $dx=\frac{1}{a}d(ax+b)$
模式 B：看到 $2x\,dx$ → $d(x^2)$
$\int f(x^2)\cdot 2x\,dx = \int f(u)\,du$，适用于含 $x^2$ 的复合函数
模式 C：看到 $e^x\,dx$ → $d(e^x)$
$\int f(e^x)\cdot e^x\,dx = \int f(u)\,du$，指数函数是自己的导数！
模式 D：看到 $\frac{1}{x}\,dx$ → $d(\ln x)$
$\int f(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int f(u)\,du$，对数函数的导数是 $1/x$

图形演示 模式 A

$\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\int e^{3x}\cdot 3\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}+C$
记忆口诀：线性换元直接除以一次项系数 $a$。

实战演练 选择正确的凑微分方式

对于下面的积分，你能找出应该把哪一部分"打包"成 $du$ 吗？

第 1 / 4 题
$\int x\,e^{x^2}\,dx$
请选择答案

凑微分速查表 常用公式一览

$x^n\,dx = \frac{1}{n+1}d(x^{n+1})$，例：$2x\,dx = d(x^2)$，$3x^2\,dx = d(x^3)$
$\cos x\,dx = d(\sin x)$，$-\sin x\,dx = d(\cos x)$
$e^x\,dx = d(e^x)$，$a^x \ln a\,dx = d(a^x)$
$\frac{1}{x}\,dx = d(\ln|x|)$，$\frac{1}{\cos^2 x}\,dx = d(\tan x)$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = d(\arcsin x)$，$\frac{1}{1+x^2}\,dx = d(\arctan x)$
$a\,dx = d(ax+b)$，所以 $\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C$
核心技能：看到被积函数时，先找"内层函数"，再检查其导数是否出现在式中。
找到了就"打包"成 $du$，找不到就考虑第二换元法或分部积分法。