几何意义 面积的完美拼图
分部积分绝不是毫无来由的符号推导。它的本质是一个极其简单的几何直觉：一个大矩形的面积，等于被曲线切开的两部分面积之和！
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
待求面积 (红) = 矩形总面积 (黑) - 已知面积 (蓝)
$u=$ 2.0
通过将未知积分 $\int u dv$ 转化为求 $\int v du$，只要新的面积更容易算，我们就赢了！
面积拼图演示 动态互补关系
右下方面积 $\int v \, du$
--
左上方面积 $\int u \, dv$
--
总矩形面积 $u \times v$
--
谁来当大哥？ “反对幂三指”法则
分部积分的核心是将 $\int u dv$ 变成 $\int v du$。如果 $u$ 选得好，新积分 $\int v du$ 就会变简单；选得差，只会越来越复杂。
目标挑战：求以下积分
$\int x \ln(x) \, dx$
请选择你的战术：让谁来做 $u$？
绝密口诀：选
$u$ 优先级
排在越前面的（左侧），越优先被选作 $u$ 来求导。
👈 请在左侧点击一种战术
以查看作战结果
以查看作战结果
套娃陷阱 当分部积分进入死循环
某些神仙组合（比如指数配三角 $e^x \sin x$），无论你怎么分部积分，它都会无限循环下去，永远也积不完。
被困目标：
$\displaystyle I = \int e^x \sin(x)\,dx$
不要慌！在数学里，如果走了一圈又回到了起点，说明我们可以把它当成一个方程来解！点击右侧案卷查看破局之法。
破局心法：
连做两次分部积分，让原式 $I$ 在等号右边重新出现，然后“移项求解”！
连做两次分部积分，让原式 $I$ 在等号右边重新出现，然后“移项求解”！
破局案卷 逐步展开
1第一次分部积分
设 $u = \sin x, \quad dv = e^x dx$
则 $du = \cos x dx, \quad v = e^x$
运用公式：$\int u dv = uv - \int v du$
则 $du = \cos x dx, \quad v = e^x$
运用公式：$\int u dv = uv - \int v du$
$I = e^x \sin x -
\color{red}{\int e^x \cos x \, dx}$
糟糕，后面又出现了一个类似的难缠积分...
2第二次分部积分 (硬着头皮继续)
对红色的 $\int e^x \cos x \, dx$ 再次分部：
设 $U = \cos x, \quad dV = e^x dx$
则 $dU = -\sin x dx, \quad V = e^x$
代入展开后得到：
设 $U = \cos x, \quad dV = e^x dx$
则 $dU = -\sin x dx, \quad V = e^x$
代入展开后得到：
$I = e^x \sin x - [e^x
\cos x - \int e^x (-\sin x) dx]$
化简符号：$I = e^x
\sin x - e^x \cos x - \mathbf{\int e^x \sin x \, dx}$
惊人发现：最右边的项，不就是我们苦苦寻找的 $I$ 本尊吗！
3移项解方程 (完美破局)
把方程重新写出来：
$I = e^x \sin x - e^x \cos x - \mathbf{I}$
把右边的 $-I$ 移项到左边：
$2I = e^x (\sin x - \cos x)$
最后除以 2，并加上积分常数 C：
$I = e^x \sin x - e^x \cos x - \mathbf{I}$
把右边的 $-I$ 移项到左边：
$2I = e^x (\sin x - \cos x)$
最后除以 2，并加上积分常数 C：
$\mathbf{I
= \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C}$