样例 1
∫ (x² + 1)/(x² + 1) dx
先看这题经过最小变形后属于哪一类。
本页作用
这一页只做一件事：把第八章所有方法放到同一张决策桌上。遇到题目先看结构，再决定是直接积分、第一类换元、第二类换元，还是分部积分，最后统一用求导验算收尾。
直接积分
第一类换元
第二类换元
分部积分
求导验算
先问自己这四句
1. 这道题能否通过代数 / 三角变形直接落回基本积分公式？
2. 是否存在明显内层结构，且它的导数能跟出来？
3. 是否必须把整个根式或分式整体换掉，连
x 与 dx 都重写？4. 是否是乘积型结构，且“谁求导会变简单”非常明显？
方法判别实验
样例 2
∫ 2x cos(x²) dx
观察“里面那个函数”的导数是否已经跟出来。
样例 3
∫ dx / √(1 - x²)
根式整体才是主角，设元后还要继续改写。
样例 4
∫ x eˣ dx
乘积型结构最先要问：谁求导会更简单？
错因诊断实验
错误 1：把第二类换元题只写到
dt 就停了
诊断：这是把第一类换元法的习惯错误带进来了。第二类换元法必须继续把 x 和 dx 全部改写成新元。
错误 2：看见复合结构就一律设元
诊断：先看导数因子是否跟得出来。跟得出来再考虑第一类换元；跟不出来且根式整体卡住，才考虑第二类换元。
错误 3：分部积分法里把对数留着积分
诊断：对数与反三角函数通常优先当
u，因为它们求导会明显变简单。
错误 4：算完不验算
诊断：无论是哪一类方法，最后统一用求导反查，这一步能一次性抓出常数、符号和方法错误。
整章决策清单
直接积分： 先做最小必要变形，把根号改幂、把分式拆开、把三角恒等式化好。
第一类换元： 内层结构清晰，且导数因子能跟出来。
第二类换元： 根式或分式整体必须代换，设元后还要继续把
x 与 dx 全改掉。分部积分： 乘积型结构明显，且“谁求导会变简单”能够一眼说清。
统一验收： 不管用了哪种方法，结果都要回到求导验算。