实验一 · 四步归纳

从切片逼近到定积分定义 四步归纳｜定义生成

不规则曲边图形不能直接套用初等面积公式，但可以先切成很多窄矩形，再让切片越来越细。这个逼近过程就是定积分定义的来源。

1
分割： 把区间 $[a,b]$ 切成 $n$ 个小区间，宽度为 $\Delta x$。
2
近似： 在每个小区间中取一点 $\xi_i$，用 $f(\xi_i)$ 当矩形高度。
3
求和： 把所有小矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x$ 加起来，得到近似值。
4
取极限： 当 $n \to \infty$ 时，近似和趋向定积分。
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x$
先调节右侧切片数量，观察小矩形如何逼近曲边图形。
定义符号对照
$\Delta x$ 每个小区间的宽度。
$\xi_i$ 第 $i$ 个小区间内的取样点。
$\sum_{i=1}^{n}$ 把所有小矩形面积相加。
$\lim_{n\to\infty}$ 切片无限变细后的极限。
$n=$ 5

切片拼图演示 估算 vs 真实

当前拼图面积 (估算值)
--
平滑曲线面积 (理论真值)
--
误差百分比探测计 --%
切片越细，黎曼和越接近定积分定义中的极限值。
实验二 · 几何意义

定积分为什么可能是正、负或零 几何意义｜符号判断

定积分不是把所有图形面积简单相加，而是计算关于 $x$ 轴的代数和：上方贡献为正，下方贡献为负。

正、负、零三种情形：

  • 函数非负： 曲线在轴上方，积分值通常为正。
  • 函数非正： 曲线在轴下方，积分值通常为负。
  • 正负抵消： 上下面积相等时，积分值可能为零。
定积分 = 正面积总和 - 负面积总和
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = S_{\text{上}} - S_{\text{下}}$
$b=$ 3.14
拖动右端点 $b$，观察正面积、负面积与净值之间的关系。

财务曲线结算仪 $y = \sin(x)$

上方盈利
--
下方亏损
--
净利润 (定积分)
--
结果为正 正面积大于负面积时成立。
结果为零 正负贡献完全抵消时成立。
结果为负 负面积大于正面积时成立。
把 $b$ 拖到最右侧 $2\pi$，再判断一个完整周期的积分符号。
实验三 · 性质一与性质二

整体为什么等于部分之和 线性拆分｜区间可加

线性性质处理“函数式可以拆”，区间可加性处理“积分区间可以拆”。前者拆表达式，后者拆范围。

一
线性性质$\int_a^b [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx$
二
区间可加$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
拆分表达式
$\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x)\,dx$
$3\int_0^1x^2dx+2\int_0^1xdx$ 系数保留，函数拆开。
$\int_0^1x^2dx+\int_0^1xdx$ 漏掉了系数。
$\int_0^1 3x^2dx\cdot\int_0^1 2xdx$ 不能把和拆成乘积。
选择一个拆分结果，检查是否符合线性性质。

区间拼图仪 $y=x^2$ 在 $[0,3]$ 上

$c=$ 1.5
左段 $\int_0^c$
--
右段 $\int_c^3$
--
左 + 右
9.00
移动切点不会改变总面积，只会改变左右两块各自的大小。
实验四 · 性质四

积分限变化时，结果为什么会变 积分限规定｜方向变化

定积分不仅有图形大小，也记录从下限到上限的方向。上下限相等时没有区间，方向反过来时结果变号。

0
上下限相等区间长度为零，所以 $\int_a^a f(x)dx=0$。
±
上下限互换积分方向反转，所以 $\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx$。
点击规则按钮，观察积分限如何控制结果。

规则翻转器 从记号到判断

选择一条规则
方向图示
判断题 1

$\displaystyle\int_2^2(x^2+1)dx$ 的值是多少？

选择答案。
判断题 2

若 $\displaystyle\int_1^4 f(x)dx=6$，则 $\displaystyle\int_4^1 f(x)dx$ 等于多少？

选择答案。
实验五 · 性质五

对称区间上，怎样快速化简定积分 奇偶识别｜快速化简

在 $[-a,a]$ 上，奇函数的正负面积互相抵消，偶函数左右两边完全相同。混合函数要先按线性性质拆开，再分别判断。

奇
奇函数$f(-x)=-f(x)$，所以 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
偶
偶函数$f(-x)=f(x)$，所以 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx$。
综合化简
$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2+x^3)\,dx$
先识别 $x^2$ 和 $x^3$ 的奇偶性，再决定是否拆分。

奇偶识别仪 图形选择与路径判定

结果为 0 适合完整奇函数。
化成 $2\int_0^a$ 适合完整偶函数。
先拆再判 适合奇偶混合式。
下节预告
$\displaystyle\int_0^{10}x^2dx$

仅靠定义和性质可以求，但效率很低。下一课需要新的求值工具。