定积分换元直观 — 弹力尺模型
为什么 dx 变成了 φ'(t)dt？想象一根有刻度的橡皮筋——拉伸后，1格的实际长度变了。
三个关键概念
TT 世界（原长）
没拉伸前的橡皮筋，刻度均匀。宽度 = dt
×φ'(t)（拉伸率）
某一点拉伸的力度。力度越大，这段被拉得越长。
XX 世界（拉伸后）
拉伸后的实际长度。原来的 1 格现在更大了。宽度 = dx
拉伸力度
0.50
T (原)—
X (现)—
拉伸率—
\(\color{white}{dx} = \color{yellow}{\varphi'(t)} \cdot \color{lime}{dt}\)
结论：X 轴上的距离 dx = 原距离 dt × 当下拉伸倍率 φ'(t)。
弹力尺模拟器
T 轴（均匀刻度）
X 轴（拉伸后刻度）
在画布上移动鼠标/手指查看每一格的变化