想象你在爬山，当你到达山顶时，会发生什么？
在山顶的那一刻，你既不是在上坡，也不是在下坡——你处于水平状态。
数学表达：在极大值点 $x_0$ 处，有 $f'(x_0) = 0$
几何意义：切线是水平的（斜率为0）
在 $x_0$ 附近：
• 左侧：$f'(x) > 0$（函数递增，像上坡）
• 右侧：$f'(x) < 0$（函数递减，像下坡）
互动提示：点击右侧图形查看任意点的切线和导数值
现在想象你在山谷的最低处，情况又如何？
在谷底，你同样处于水平状态——既不是下坡，也不是上坡。
数学表达：在极小值点 $x_0$ 处，有 $f'(x_0) = 0$
几何意义：切线是水平的（斜率为0）
在 $x_0$ 附近：
• 左侧：$f'(x) < 0$（函数递减，像下坡）
• 右侧：$f'(x) > 0$（函数递增，像上坡）
极小值在优化问题中非常重要，比如：
• 最小成本
• 最短路径
• 最少时间
互动提示：试试点击动画按钮，观察导数如何变化
但是！不是所有 $f'(x) = 0$ 的点都是极值点。看看这个特殊情况：
在某些点，虽然切线是水平的，但函数一直在增加（或一直在减少）。
例子：$f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处
• $f'(0) = 0$（切线水平）
• 但 $x < 0$ 时 $f'(x) > 0$，$x > 0$ 时 $f'(x) > 0$
• 函数始终递增，不是极值点！
想象在爬山途中遇到一个平台：
• 你暂时走在水平路上（$f'(x) = 0$）
• 但整体趋势仍是上山（函数递增）
• 这只是一个"喘息点"，不是山顶或谷底
第一步：找出所有 $f'(x) = 0$ 的点（嫌疑点）
第二步：检查每个点两侧导数的符号变化
第三步：只有符号发生变化的点才是真正的极值点