第一章  函数基础

1.1

集合、常量与变量

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

集合

定义

具有某种特定性质的、确定的、可以区分的事物的全体，称为集合。

元素特征

确定性、互异性、无序性。

简明理解

集合主要用来表示“哪些对象属于同一类”。

集合示例 设集合 A 由自然数 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成。

关键要点

确定性

互异性

无序性

三大特征构成集合的本质

2

常量与变量

常量

在研究过程中取值始终不变的量，
如 π ≈ 3.14159，e ≈ 2.718。

变量

在一定范围内可以取不同数值的量，
如时间 t、温度 T。

例

在 y = 2x + 1 中，2 和 1 是常量，x 和 y 是变量。

简明理解：常量保持规则不变，变量体现数量变化。

第一章  函数基础

1.2

区间表示法

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

闭区间 [a, b]

●  表示 a ≤ x ≤ b，包含两个端点。

[a, b] a ≤ x ≤ b

2

开区间 (a, b)

●  表示 a < x < b，不包含两个端点。

(a, b) a < x < b

3

左闭右开 [a, b)

●  表示 a ≤ x < b，包含左端点，不包含右端点。

[a, b) a ≤ x < b

4

左开右闭 (a, b]

●  表示 a < x ≤ b，不包含左端点，包含右端点。

(a, b] a < x ≤ b

记忆要点

方括号表示端点取到，圆括号表示端点取不到。

方括号 [ ]：端点包含（≤）

圆括号 ( )：端点不包含（<）

第一章  函数基础

1.3

函数

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1定义

如果对定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 y 与之对应，那么 y 就是 x 的函数。

---

2记法

y = f(x)

---

3含义

x 是自变量，f 是对应法则，y 是因变量。

---

4函数三要素

定义域、对应法则、值域。

定义域

自变量的集合

对应法则

函数关系

值域

因变量的集合

---

5简明理解

函数的关键是“每一个 x 只能对应一个确定的 y”。

函数的结构（函数“机器”）

对定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 y 与之对应。

映射示例：每个 x 只能对应一个 y

对定义域中的每一个 x，都有唯一确定的一个 y 与之对应。

第一章  函数基础

1.4

定义域

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

定义

定义域是自变量 x 可以取值的范围。

基本原则

让函数表达式有意义。

1

常见限制 1

分母不能为 0。

---

例 f(x) = 1x − 2，因为 x − 2 ≠ 0，所以定义域为 x ≠ 2。

定义域x ≠ 2

2

常见限制 2

偶次根号下的式子
必须大于或等于 0。

---

例 g(x) = √x − 3，因为 x − 3 ⩾ 0，所以定义域为 x ⩾ 3。

定义域x ⩾ 3

3

常见限制 3

对数的真数
必须大于 0。

---

例 在 log_a N 中，真数 N > 0。

定义域使 N > 0 的 x

简明理解：先判断式子在哪些情况下不能算，再确定 x 的取值范围。

第一章  函数基础

1.5

值域

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

概念与求法

定义

值域是函数值 y 能够取到的范围。

常用求法

观察法、配方法、反函数法。

简明理解

定义域看 x 能取什么，值域看 y 能得到什么。

关键要点

理解定义

掌握求法

会判定范围

---

本节总结

1值域是函数值 y 的取值范围。

2常用方法：观察法、配方法、反函数法。

3求值域时，关注函数图象、性质或函数表达式的特征。

2

典型例题

例 1

因为平方非负，
所以值域为 y ⩾ 0，
即 [0, +∞)。

例 2

因为正弦函数最大值为 1，
最小值为 −1，
所以值域为 [−1, 1]。

第一章  函数基础

1.6

指数运算

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

乘法法则

同底相乘
指数相加

2

除法法则

同底相除
指数相减

3

幂的幂

幂的乘方
指数相乘

4

积的幂

积的乘方
各因式分别乘方

5

零指数

例：5⁰ = 1

(−3)⁰ = 1

6

负指数

例：2⁻³ = 12³

a⁻² = 1a²

7

分数指数

例：823 = ³√8² = 4

说明

零指数：任何不为 0 的数的 0 次幂都等于 1。

负指数：把底数移到分母，指数变为正。

分数指数：分母是根次，分子是幂次。

注意：以上法则中，除零指数外，均需 a ≠ 0（如有除法或负指数），同时 n 为正整数。

第一章  函数基础

1.7

指数函数图像性质

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

函数图像

a > 1（如 y = 2^x）

0 < a < 1（如 y = (12)^x）

指数函数：

共同性质

图像都经过点 (0, 1)。

当 a > 1 时

函数单调递增。

当 0 < a < 1 时

函数单调递减。

定义域

ℝ（全体实数）。

值域

(0, +∞)，图像始终在 x 轴上方。

简明理解

底数大于 1 时越增越快；底数在 0 和 1 之间时，x 越大函数值反而越小。

本节总结

1指数函数：。

2共同性质：图像都经过点 (0, 1)。

3a>1 时单调递增；
0<a<1 时单调递减。

4定义域 ℝ，
值域 (0, +∞)。

5底数 >1 越增越快；0~1 之间 x 越大值越小。

第一章  函数基础

1.8

对数

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

对数的概念

a：底数（a > 0 且 a ≠ 1）

N：真数（N > 0）

常用对数

以 10 为底，记作 lg N，即 log₁₀ N。

自然对数

以 e 为底，记作 ln N，即 log_e N（e ≈ 2.718）。

两个恒等

log_a 1 = 0，  log_a a = 1。

简明理解

对数是指数的逆运算：已知底数与幂，求指数。

2

运算性质

1

积的对数

2

商的对数

3

幂的对数

使用前提

底数 a > 0 且 a ≠ 1。

真数 M、N 均 > 0，对数才有意义。

换底公式：。

第一章  函数基础

1.9

对数函数图像性质

夯实基础 · 理解本质 · 灵活应用

1

函数图像

a > 1（如 y = log₂ x）

0 < a < 1（如 y = log_½ x）

对数函数：

共同性质

图像都经过点 (1, 0)。

当 a > 1 时

函数单调递增。

当 0 < a < 1 时

函数单调递减。

定义域

(0, +∞)，真数必须大于 0。

值域

ℝ（全体实数）。

指数函数

互为
反函数

对数函数

图像关于直线 y = x 对称

第一章  函数基础

1.10

习题

逐题作答 · 先思考 · 再看解析

第 1 / 8 题

1集合

判断下列对象能否构成集合：

① 所有的偶数；② 班里个子高的同学。

答案与解析

①能构成集合。“偶数”的标准明确，任意对象是否为偶数都能确定，满足确定性。

②不能。“个子高”没有明确标准，无法确定谁属于其中，违反确定性。

2常量与变量

指出 y = 3x − 5 中的常量与变量。

答案与解析

常量：3 与 −5（取值固定不变）；  变量：x、y（可随之取不同数值）。

3区间表示法

把下列范围写成区间：

① −2 ⩽ x < 4；② x > 1。

答案与解析

①[−2, 4)：左端点取到用方括号，右端点取不到用圆括号。

②(1, +∞)：无穷一侧恒用圆括号。

4函数

判断下列对应是否为函数：

① 每个学生对应其学号；② 每个实数对应它的平方根。

答案与解析

①是函数。每个学生只有唯一确定的学号，满足唯一性。

②不是。负数没有平方根，正数有两个平方根，违反唯一性。

5定义域

求 f(x) = 1x + 1 的定义域。

答案与解析

分母不能为 0，需 x + 1 ≠ 0，即 x ≠ −1。定义域为 (−∞, −1) ∪ (−1, +∞)。

6定义域

求 g(x) = √2x − 6 的定义域。

答案与解析

偶次根号下必须非负，需 2x − 6 ⩾ 0，解得 x ⩾ 3。定义域为 [3, +∞)。

7值域

求 y = x² 的值域。

答案与解析

任意实数的平方都非负，故 y ⩾ 0。值域为 [0, +∞)。

8指数 · 对数

计算下列各式：

① a³·a⁵；② a⁷÷a²；③ log_a 1；④ log_a(MN)。

答案与解析

①同底相乘指数相加：a⁸。

②同底相除指数相减：a⁵。

③0（a⁰ = 1）。

④积的对数等于对数之和：log_a M + log_a N。

上一题

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