第一章 · 课 01 · 第一节

集合与函数概念

从集合出发，认识常量、变量与区间，把函数看成一台"加工机器"，进而掌握定义域与值域。

共 6 页交互可视化 3 个配套实验

返回课件目录

提示：可用 ← / → 方向键、空格键或鼠标滚轮翻页；底部可输入页码跳转。

ƒ

x ∈ A y = f(x) [a, b) √(x−2)

01基础概念

集合、常量与变量

集合

具有某种特定性质的、确定的、可以彼此区分的事物的全体；其中每个事物叫做集合的元素。

例：全体正整数 $\{1, 2, 3, \dots\}$；不超过 $5$ 的实数 $\{x \mid x \le 5\}$。

常量

在所研究的问题中，取值始终保持不变的量。

例：圆周率 $\pi \approx 3.14159$、自然常数 $e \approx 2.718$；在 $y = 2x + 1$ 中，$2$ 与 $1$ 都是常量。

变量

在一定范围内，可以取不同数值的量。

例：时间 $t$、温度 $T$、速度 $v$；在 $y = 2x + 1$ 中，$x$ 与 $y$ 都是变量。

💡判断口诀：看它在问题中"动不动"——不动的是常量，会动的是变量。

02表示范围

区间表示法

区间是描述 $x$ 取值范围的"速记符号"，端点含不含由括号的形状决定。

$[a, b]$

闭区间

$a \le x \le b$

$(a, b)$

开区间

$a < x < b$

$[a, b)$

左闭右开

$a \le x < b$

$(a, b]$

左开右闭

$a < x \le b$

🧠记忆：方括号 [ ] = 实心点 = 端点取得到；圆括号 ( ) = 空心点 = 端点取不到；无穷 $\infty$ 一侧永远用圆括号。

练一练：$x \ge 3$ 记作 $[3, +\infty)$；$-1 < x \le 4$ 记作 $(-1, 4]$。

03核心概念

函数：一台"加工机器"

函数是一种特殊的对应关系：对集合 $A$ 中的每一个输入 $x$，这台机器都能产出集合 $B$ 中唯一确定的输出 $y$。

$$y = f(x)$$

$x$自变量 · 输入

$f$对应法则 · 机器

$y$因变量 · 输出

关键词：唯一确定

一个输入只能得到一个输出；但不同的输入允许得到相同的输出，如 $f(x) = x^2$ 中 $f(2) = f(-2) = 4$。

💡右侧动画：机器 $f(x) = 2x + 1$ 正在把随机的输入 $x$ 加工成输出 $y$，试着心算验证一下！

04输入的资格

定义域：允许输入的 $x$ 全体

思考：要让函数表达式有意义，$x$ 可以取哪些值？常见"三条门禁"：

分母不能为零：出现 $\frac{A}{B}$ 时，需 $B \neq 0$
偶次根号下非负：出现 $\sqrt{A}$ 时，需 $A \ge 0$
对数真数为正：出现 $\log_a A$ 时，需 $A > 0$

例 1：$f(x) = \frac{1}{x-2}$，需 $x - 2 \neq 0$，定义域为 $\{x \mid x \neq 2\}$。

例 2：$g(x) = \sqrt{x-3}$，需 $x - 3 \ge 0$，定义域为 $[3, +\infty)$。

🚧右侧动画：机器 $f(x) = \sqrt{x-2}$ 只放行 $x \ge 2$ 的数——被"拒之门外"的就是定义域之外的点。

05输出的范围

值域：所有输出 $y$ 的集合

当 $x$ 取遍定义域中所有值时，对应的输出 $y$ 组成的集合，叫做函数的值域。常用求法：

观察法：借助图像直接看出 $y$ 的范围，适合简单函数
配方法：二次函数配方后找最值，确定 $y$ 的上下界
反函数法：函数的值域 = 其反函数的定义域

例 1：$f(x) = x^2$，平方永远非负，值域为 $[0, +\infty)$。

例 2：$g(x) = \sin x$，输出在 $-1$ 与 $1$ 之间摆动，值域为 $[-1, 1]$。

一句话区分

定义域管输入 $x$，值域管输出 $y$；对应法则 $f$ 决定两者如何联系。