第一章 · 第二节

基本初等函数

先备好指数与对数的运算工具，再认识六类函数

本节内容

指数运算
对数运算
六类基本初等函数

指数运算

设 $a > 0$。幂 $a^{n}$ 的意义从正整数指数逐步推广到全体实数：

幂的推广
正整数指数：$a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\ 个}$；　零指数：$a^{0} = 1$
负指数：$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$；　分数指数：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

运算法则（对任意实数 $m,\,n$）：

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ —— 同底幂相乘，指数相加；
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$；　$(a^{m})^{n} = a^{mn}$；　$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$。

右图：上方演示 $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$——因子个数相加；下方展示指数每减 $1$、幂值除以 $a$，由此自然得到 $a^{0}=1$ 与负指数的意义。

随堂练习 · 一指数运算

题

计算 $27^{\frac{2}{3}}$ 与 $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}$。

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解

$27^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^{2} = 9$；

$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^{(-3)\times(-\frac{1}{3})} = 2^{1} = 2$。

∴ $27^{\frac{2}{3}} = 9$，$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} = 2$。

要点：先把底数化为同一质数的幂，再用法则 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$；分数指数幂的意义是 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$（$a>0$）。

对数的定义

定义 · 对数
设 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。若 $a^{x} = N$，则称 $x$ 为以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $$x = \log_{a} N,$$ 其中 $a$ 称为底数，$N$ 称为真数。

对数是求幂的逆问题：已知底数与幂值，求指数；
由 $a^{x} > 0$ 可知真数必须为正：负数与零没有对数；
两个恒等式：$a^{\log_{a} N} = N$，$\log_{a} a^{x} = x$；
特殊值：$\log_{a} 1 = 0$，$\log_{a} a = 1$。

右图：在 $y = 2^{x}$ 的图像上给定纵坐标 $N$，找到它对应的横坐标，就是 $\log_{2} N$。

对数运算法则

设 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，$x > 0$，$y > 0$。由指数运算法则可以导出：

法则
$\log_{a}(xy) = \log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a}\dfrac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$
$\log_{a}(x^{n}) = n\log_{a} x$

乘法化为加法、除法化为减法、乘方化为乘法——对数降低了运算的级别；
这正是历史上对数表与计算尺得以简化计算的原理。

右图：一把"计算尺"。两条对数刻度的直尺相对滑动，长度相加即对数相加，于是直接读出乘积。

常用对数、自然对数与换底公式

两个常用底
常用对数：$\lg N = \log_{10} N$
自然对数：$\ln N = \log_{e} N$，其中 $e = 2.71828\cdots$

$e$ 是一个无理数，在微积分中处于核心地位（从第二章起将大量使用 $\ln$）；
换底公式：$\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$（$c>0$ 且 $c \ne 1$），特别地 $\log_{a} b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$；
有了换底公式，任何底的对数都可以用 $\ln$（或 $\lg$）计算出来。

右图：三条不同底的对数曲线都经过 $(1,\,0)$；同一横坐标处，它们的纵坐标成固定比例——这正是换底公式的几何含义。

随堂练习 · 二对数运算

题

已知 $\lg 2 \approx 0.301$，求 $\lg 5$ 与 $\lg 8$。

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解

$\lg 5 = \lg\dfrac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 = 1 - 0.301 = 0.699$；

$\lg 8 = \lg 2^{3} = 3\lg 2 = 3 \times 0.301 = 0.903$。

∴ $\lg 5 \approx 0.699$，$\lg 8 \approx 0.903$。

要点：把 $5$ 与 $8$ 用已知的 $10$ 和 $2$ 表示（$5 = 10/2$，$8 = 2^{3}$），再套用商与乘方的运算法则；$\lg 10 = 1$ 是常用对数的基准。

常函数与幂函数

定义
常函数：$y = C$（$C$ 为常数）
幂函数：$y = x^{\alpha}$（$\alpha$ 为实数）

常函数的图像是一条水平直线，定义域为 $\mathbb{R}$，值域为单点集 $\{C\}$；
幂函数的定义域随 $\alpha$ 而变：$\alpha = \dfrac{1}{2}$ 时为 $[0,\,+\infty)$，$\alpha = -1$ 时为 $(-\infty,\,0)\cup(0,\,+\infty)$；
所有幂函数的图像都经过点 $(1,\,1)$。

右图：点击上方按钮切换常数 $C$ 与不同的指数 $\alpha$，观察图像形状与定义域的变化。

指数函数

定义 · 指数函数
$y = a^{x}$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）
定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,\,+\infty)$

图像恒过点 $(0,\,1)$，且全部位于 $x$ 轴上方；
$a > 1$ 时单调递增；$0 < a < 1$ 时单调递减（预告·第三节将系统研究单调性）；
$x$ 轴是图像的水平渐近线：$|x|$ 增大时图像无限贴近 $x$ 轴但不相交。

右图：切换 $a>1$ 与 $0< a<1$ 两组底数，注意所有曲线都穿过同一点 $(0,\,1)$。

对数函数

定义 · 对数函数
$y = \log_{a} x$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）
定义域 $(0,\,+\infty)$，值域 $\mathbb{R}$

图像恒过点 $(1,\,0)$，全部位于 $y$ 轴右侧；$y$ 轴是竖直渐近线；
$a > 1$ 时单调递增；$0 < a < 1$ 时单调递减；
预告·第四节：$y = \log_{a} x$ 与 $y = a^{x}$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称——它们互为反函数。

右图：背景中淡色的 $y = a^{x}$ 与虚线 $y = x$ 提示了这层对称关系，第四节将给出证明。

随堂练习 · 三定义域

题

求函数 $y = \lg(x - 1) + \sqrt{2 - x}$ 的定义域。

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解

对数部分要求真数为正：$x - 1 > 0$，即 $x > 1$；

根式部分要求被开方数非负：$2 - x \ge 0$，即 $x \le 2$。

两个条件须同时成立，取交集：$1 < x \le 2$。

∴ 定义域为 $(1,\,2\,]$。

求定义域，就是找出使每一部分同时有意义的 $x$ 的集合——各条件取交集；注意端点：$x=2$ 使根式为 $0$，可以取到，故右端为闭。

三角函数

定义 · 单位圆
在单位圆上，角 $x$（弧度）的终边与圆的交点为 $P$，则
$\sin x$ 为 $P$ 的纵坐标，$\cos x$ 为 $P$ 的横坐标；
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$，$\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$，$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$，$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$。

$\sin x$ 与 $\cos x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $[-1,\,1]$；
$\tan x$、$\sec x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 处无定义；$\cot x$、$\csc x$ 在 $x=k\pi$ 处无定义；
周期性：$\sin x$、$\cos x$、$\sec x$、$\csc x$ 的周期为 $2\pi$，$\tan x$、$\cot x$ 的周期为 $\pi$；
预告·第三节："周期""有界"将作为函数的一般性质系统研究。

反三角函数

三角函数通常不是一一对应，要求反函数必须先选定一个主值区间。主值区间确定后，反三角函数的值就是满足条件的那个唯一角。

定义 · 主值
$y = \arcsin x$：定义域 $[-1,\,1]$，值域 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$
$y = \arccos x$：定义域 $[-1,\,1]$，值域 $[0,\,\pi]$
$y = \arctan x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\arcsin x$ 与 $\arccos x$ 只接受 $[-1,\,1]$ 内的输入；
$\arctan x$ 接受任意实数输入，但输出角始终落在 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right)$
预告·第四节："为什么必须一一对应才能求逆"，将在《反函数》中给出一般回答。

随堂练习 · 四三角函数与反三角函数

题

求 $\sin\dfrac{\pi}{6}$、$\cos\dfrac{\pi}{3}$ 与 $\arcsin\dfrac{1}{2}$。

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解

在单位圆上，角 $\dfrac{\pi}{6}$ 的终边对应点的纵坐标为 $\dfrac{1}{2}$，故 $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$；

由互余关系 $\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$，得 $\cos\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$；

$\arcsin\dfrac{1}{2}$ 表示"正弦值为 $\dfrac{1}{2}$ 且位于 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 内的角"，即 $\dfrac{\pi}{6}$。

∴ $\sin\dfrac{\pi}{6} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$，$\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$。

注意：满足 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ 的角有无穷多个（如 $\dfrac{5\pi}{6}$），但 $\arcsin$ 的值域限定了只取 $\dfrac{\pi}{6}$。