第一章 · 第三节

函数的基本性质

刻画函数整体特征的四个重要属性

本节内容
  • 单调性
  • 奇偶性
  • 周期性
  • 有界性

单调性的定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$。

定 义
若对区间 $I$ 上任意两个值 $x_1$、$x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $$f(x_1) < f(x_2),$$ 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增；恒有 $$f(x_1) > f(x_2),$$ 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。
  • $x_1$、$x_2$ 具有任意性，不能用特殊值代替；
  • 单调性是函数在区间上的整体性质，叙述时必须指明区间；
  • 几何特征：单调递增的图像自左向右上升，单调递减的图像自左向右下降。
右图：两点 $x_1 < x_2$ 沿曲线自动移动，观察对应函数值 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小关系始终保持不变。可切换"递增 / 递减"对照。

单调区间

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增或单调递减，则称函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上具有单调性，区间 $I$ 称为函数的单调区间。

例　考察 $f(x)=x^2$（第二节中的幂函数）

  • 在区间 $(-\infty,\, 0]$ 上，$f(x)$ 单调递减；
  • 在区间 $[0,\, +\infty)$ 上，$f(x)$ 单调递增；
  • $x=0$ 处函数取得最小值 $f(0)=0$，图像在该点由下降转为上升。

书写规范：同类单调区间之间用"，"或"和"连接，不能用"$\cup$"。例如 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调递减，但在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上并不单调。

联系第二节：基本初等函数是研究性质的基本素材，右图中的抛物线正是幂函数 $y=x^2$。
随堂练习 · 一 单调区间
题

求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 的单调区间。

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解

配方，得 $f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$，其图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线 $x = 2$。

当 $x_1 < x_2 \le 2$ 时，$(x_1-2)^2 > (x_2-2)^2$，即 $f(x_1) > f(x_2)$；当 $2 \le x_1 < x_2$ 时，$(x_1-2)^2 < (x_2-2)^2$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。

∴ $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,\, 2]$，单调递增区间为 $[2,\, +\infty)$。

两个单调区间之间用"，"连接；$x=2$ 处函数有定义，端点可写成闭端点。

偶函数

前提：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，且 $D$ 关于原点对称，即 $x \in D \Rightarrow -x \in D$。

定 义 · 偶函数
若对任意 $x \in D$，都有 $$f(-x) = f(x),$$ 则称 $f(x)$ 为偶函数。
  • 几何特征：图像关于 $y$ 轴对称；
  • 典型例子：$y=x^2$、$y=|x|$、$y=\cos x$（后两者见第二节）。

判断步骤：先验证定义域是否关于原点对称，再计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

右图：曲线上任取一点 $(x,\,f(x))$，其关于 $y$ 轴的对称点 $(-x,\,f(-x))$ 也必在曲线上。

奇函数

定 义 · 奇函数
若定义域 $D$ 关于原点对称，且对任意 $x \in D$，都有 $$f(-x) = -f(x),$$ 则称 $f(x)$ 为奇函数。
  • 几何特征：图像关于原点成中心对称，绕原点旋转 $180^{\circ}$ 后与自身重合；
  • 若奇函数在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0) = 0$；
  • 典型例子：$y=x$、$y=x^3$、$y=\sin x$。

说明：存在非奇非偶的函数，如 $y = x^2 + x$；而函数 $f(x)=0$（定义域关于原点对称）既是奇函数又是偶函数。

随堂练习 · 二 奇偶性
题

判断函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的奇偶性。

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解

① 函数的定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称；

② 对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x).$$

∴ $f(x)$ 为奇函数，其图像关于原点成中心对称。

判断奇偶性必须先检验定义域是否关于原点对称，这是使用定义式 $f(-x)=\pm f(x)$ 的前提。

周期性

定 义 · 周期函数
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若存在非零常数 $T$，使得对每一个 $x \in D$，都有 $x+T \in D$，且 $$f(x+T) = f(x),$$ 则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为它的一个周期。
  • 若 $T$ 是周期，则 $kT$（$k \in \mathbb{Z}$，$k \ne 0$）都是周期；
  • 若所有正周期中存在最小者，则称其为最小正周期；
  • $y=\sin x$、$y=\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$；$y=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$。
联系第二节：三角函数是最典型的周期函数。右图演示：把 $y=\sin x$ 的图像向右平移 $2\pi$，恰好与原图像完全重合。
随堂练习 · 三 周期性
题

求函数 $f(x) = \sin 2x$ 的最小正周期。

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解

设 $T$ 为 $f(x)$ 的周期，则对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $$\sin\big(2(x+T)\big) = \sin(2x + 2T) = \sin 2x.$$

由正弦函数的周期性，需 $2T = 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$，$k \ne 0$），即 $T = k\pi$，其中最小正值为 $\pi$。

∴ 函数 $f(x)=\sin 2x$ 的最小正周期 $T = \pi$。

一般地，函数 $y = \sin(\omega x + \varphi)$（$\omega \ne 0$）的最小正周期为 $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$。

有界性

定 义 · 有界函数
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X \subseteq D$。若存在正数 $M$，使得对任意 $x \in X$，恒有 $$|f(x)| \le M,$$ 则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界；若这样的 $M$ 不存在，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上无界。
  • 几何特征：有界 $\iff$ 图像介于两条水平直线 $y=M$ 与 $y=-M$ 之间；
  • $y=\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界（可取 $M=1$）；
  • $y=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上无界，但在任一有限闭区间 $[a,\,b]$ 上有界。

可见，有界性与所考察的数集有关，讨论时必须指明范围。

随堂练习 · 四 有界性 · 综合
题

判断函数 $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$（$x \in \mathbb{R}$）是否有界，并说明其奇偶性。

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解

① 有界性：对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $1 + x^2 \ge 1 > 0$，于是 $0 < f(x) \le 1$，即 $|f(x)| \le 1$。取 $M = 1$，则对一切 $x \in \mathbb{R}$ 恒有 $|f(x)| \le M$，故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界。

② 奇偶性：定义域 $\mathbb{R}$ 关于原点对称，且 $$f(-x) = \dfrac{1}{1+(-x)^2} = \dfrac{1}{1+x^2} = f(x),$$ 故 $f(x)$ 为偶函数。

∴ $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界，且为偶函数。

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